多重背包

多重背包

有N种物品和一个容量为T的背包，第i种物品最多有M[i]件可用，价值为P[i]，体积为V[i]，

求解：选哪些物品放入背包，可以使得这些物品的价值最大，并且体积总和不超过背包容量。

对比一下完全背包，其实只是多了一个限制条件，完全背包问题中，物品可以选择任意多件，只要你装得下，装多少件都行。

但多重背包就不一样了，每种物品都有指定的数量限制，所以不是你想装，就能一直装的。

参考完全背包的动态规划解法，就很容易写出多重背包的动态规划解法。
自上而下记忆法：

public static class MultiKnapsack {
    private static int[] P={0,2,3,4};
    private static int[] V={0,3,4,5};
    private static int[] M={0,4,3,2};
    private static int T = 15;

    private Integer[][] results = new Integer[P.length + 1][T + 1];

    @Test
    public void solve2() {
        int result = ks2(P.length - 1,T);
        System.out.println("最大价值为：" + result);
    }

    private int ks2(int i, int t){
        // 如果该结果已经被计算，那么直接返回
        if (results[i][t] != null) return results[i][t];
        int result = 0;
        if (i == 0 || t == 0){
            // 初始条件
            result = 0;
        } else if(V[i] > t){
            // 装不下该珠宝
            result = ks2(i-1, t);
        } else {
            // 可以装下
            // 取k个物品，取其中使得价值最大的
            for (int k = 0; k <= M[i] && k * V[i] <= t; k++){
                int tmp2 = ks2(i-1, t - V[i] * k) + P[i] * k;
                if (tmp2 > result){
                    result = tmp2;
                }
            }
        }
        results[i][t] = result;
        return result;
    }
}

 

多重背包问题跟完全背包简直如出一辙，仅仅是比完全背包多一个限制条件而已。