【深度学习数学基础：概率论与数理统计】1.2.2 排列与组合公式

1. 随机事件与概率

1.2 概率的定义及其确定方法

1.2.2 排列与组合公式

排列与组合用于计算“从 \(n\) 个元素中任取 \(r\) 个元素”的取法总数，核心区别是 是否讲究元素间的次序：

• 不讲究次序（如两人握手）→ 组合；
• 讲究次序（如两人排队）→ 排列。

推导基于 乘法原理 和 加法原理，以下分述：

1. 计数原理

（1）乘法原理

例子：做三明治，第一步选面包（3种：白、全麦、法棍），第二步选馅料（4种：火腿、鸡肉、蔬菜、奶酪）。每一步独立，总搭配数为 \(3×4=12\) 种。
若某件事需经 \(k\) 个步骤完成，第一步有 \(m_1\) 种方法，第二步有 \(m_2\) 种方法，……，第 \(k\) 步有 \(m_k\) 种方法，则完成这件事的总方法数为：

\[m_1 × m_2 × … × m_k \]

（2）加法原理

例子：周末运动可选跑步（3条路线）、骑车（2条路线）、游泳（1个泳池）。三类是并行途径，总选择数为 \(3+2+1=6\) 种。
若某件事可通过 \(k\) 类不同途径完成，第1类途径有 \(m_1\) 种方法，第2类途径有 \(m_2\) 种方法，……，第 \(k\) 类途径有 \(m_k\) 种方法，则完成这件事的总方法数为：

\[m_1 + m_2 + … + m_k \]

2. 排列与组合的定义及公式

（1）排列（讲究次序，无重复）

从 \(n\) 个不同元素中任取 \(r\)（\(r≤n\)）个元素 排成一列（考虑次序），称为排列，总数记为 \(P_n^r\)（或 \(A_n^r\)）。

例子：3人（甲、乙、丙）中选2人当正、副班长（次序重要），总排列数为 \(P_3^2 = 3×2=6\) 种（甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙）。

按乘法原理，第1个元素有 \(n\) 种取法，第2个有 \(n-1\) 种，……，第 \(r\) 个有 \(n-r+1\) 种，故：

\[P_n^r = n×(n-1)×…×(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} \]

当 \(r=n\) 时，称为全排列，记为 \(P_n\)（或 \(n!\)），即 \(P_n = n!\)（如3人全排列：\(3! = 6\) 种）。

（2）重复排列（讲究次序，可重复）

从 \(n\) 个不同元素中 每次取1个，放回后再取，连续取 \(r\) 次的排列，称为重复排列，总数为 \(n^r\)（\(r\) 可大于 \(n\)）。

例子：3位密码锁，每位可选0-9（10个数字），允许重复，总密码数为 \(10^3=1000\) 种（如111、123等）。

（3）组合（不讲究次序，无重复）

从 \(n\) 个不同元素中任取 \(r\)（\(r≤n\)）个元素 并成一组（不考虑次序），称为组合，总数记为 \(\binom{n}{r}\)（或 \(C_n^r\)）。

例子：3人（甲、乙、丙）中选2人参加活动（次序不重要），总组合数为 \(\binom{3}{2} = 3\) 种（甲乙、甲丙、乙丙）。

组合数由排列推导：排列数 \(P_n^r\) 中，每组 \(r\) 个元素的次序被重复计算了 \(r!\) 次，故除以 \(r!\)：

\[\binom{n}{r} = \frac{P_n^r}{r!} = \frac{n(n-1)…(n-r+1)}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

规定 \(0!=1\) 且 \(\binom{n}{0}=1\)（空组合）。组合的性质：

\[\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} \]

（如 \(\binom{5}{2}=\binom{5}{3}\)，因“选2个”与“不选3个”等价。）

（4）重复组合（不讲究次序，可重复）

从 \(n\) 个不同元素中 每次取1个，放回后再取，连续取 \(r\) 次的组合（不考虑次序），称为重复组合，总数为 \(\binom{n+r-1}{r}\)（\(r\) 可大于 \(n\)）。

例子：买3个水果（苹果、香蕉、橙子，共3种），允许重复且不考虑次序，总组合数为 \(\binom{3+3-1}{3}=\binom{5}{3}=10\) 种（如2个苹果1个香蕉，与1个香蕉2个苹果算同一组合）。

重复组合数的得出可如下考虑:将此 \(n\) 个元素画成 \(n\) 个盒子(用 \(n+1\) 根火柴棒示意,见图 1.2.1),如果第 \(i\) 个元素取到过一次,则在此盒子中用“○”作一记号.图 1.2.1 所示意味着:第一个元素取到过 2 次,第 2 个元素取到过 0 次,第 3 个元素取到过 1 次,……,第 \(n\) 个元素取到过 3 次.因为共取 \(r\) 次,所以共有 \(r\) 个“○”, \(n+1\) 个“|”.如此所有的 \(r\) 个“○”和 \(n+1\) 个“|”中除了两端的那两个“|”不可以动外,共有 \(n+r-1\) 个“○”和“|”可随意放置,不同的放置表示不同的取法.因此重复组合数就等于在此 \(n+r-1\) 个位置上任选 \(r\) 个放“○”,或此 \(n+r-1\) 个位置上任选 \(n-1\) 个放“|”,而 \(\dbinom{n+r-1}{r}\) 和 \(\dbinom{n+r-1}{n-1}\) 是相等的.

上述四种排列组合及其计算公式,在确定概率的古典方法中经常使用,但在使用中要注意识别是否讲次序、是否重复.

核心判断逻辑

使用时需明确两个关键：

• 是否讲究次序：是→排列，否→组合；
• 是否允许重复选取：是→重复排列/组合，否→普通排列/组合。