【深度学习数学基础：高等数学】【苏德矿高等数学】第12讲：海涅定理推论的应用、无穷小量性质与推论

3. 函数极限

3.1 函数极限的概念

3.1.3 海涅定理

海涅定理推论的应用

【例】证明\(\lim\limits_{x\to +\infty}\sin x\)不存在。
【证明】（取两个数列趋于正无穷）
取\(x_{n}'=2n\pi,n\in\mathbb{N}\)，则\(\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}'=+\infty\)
\(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_{n}')=\lim\limits_{n\to\infty}\sin 2n\pi =\lim\limits_{n\to\infty}0 = 0\)
取\(x_{n}''=2n\pi+\frac{\pi}{2}>0,n\in\mathbb{N}\)
\(\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}''=+\infty,\lim\limits_{n\to\infty}f(x_{n}'')=\lim\limits_{n\to\infty}\sin(2n\pi +\frac{\pi}{2})=\lim\limits_{n\to\infty}1=1\)
由\(0\ne 1\)，知\(\lim\limits_{x\to +\infty}\sin x\)不存在。

【例】证明\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}\sin\frac{1}{x}\)不存在。
【证明】取\(x_{n}'=\frac{1}{2n\pi},n\in\mathbb{N}\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}'=0\)
\(\lim\limits_{n\to\infty}\sin x_{n}'=\lim\limits_{n\to\infty}\sin 2n\pi=\lim\limits_{n\to\infty}0 = 0\)
取\(x_{n}''=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}},n\in\mathbb{N}\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}''=0\)
\(\lim\limits_{n\to\infty}\sin x_{n}''=\lim\limits_{n\to\infty}\sin (2n\pi+\frac{\pi}{2})=\lim\limits_{n\to\infty}1 = 1\)
由于\(0\ne 1\)，知\(\lim\limits_{x\to 0^{+}}\sin\frac{1}{x}\)不存在。

3.2 无穷小量

3.2.1 无穷小量的定义

【定义】若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0\)，称\(f(x)\)当\(x\)趋于\(x_0\)时（\(x\to x_0\)）是无穷小量。

【例】\(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0\)，称\(\frac{1}{x}\)当\(x\to \infty\)时是无穷小量。

【例】\(\frac{1}{n}\)是无穷小量是对的，因为数列只能\(n\to\infty\)（即\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)），这种特殊情况可以不加前提，否则需要加前提。

【定理】若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)，其中\(A\)为常数\(\Leftrightarrow f(x)+A+\alpha(x)\)，其中\(\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0\).
【证明】先证明“\(\Leftarrow\)”
\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}[A+\alpha(x)]=A\)
再证明“\(\Rightarrow\)”
由\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftarrow \lim\limits_{x\to x_0}[f(x)-A]=0\)（四则运算，差的运算法则）
设\(f(x)-A=\alpha(x),f(x)=A+\alpha(x),\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0\).

3.2.2 无穷小量的性质

性质1：有限个无穷小量之和仍是无穷小量

【证明】极限四则运算能证明，不赘述了，和的极限等于极限的和，\(k\)个0相加还是0.

【注1】无限个无穷小量之和不一定是无穷小量，\(n\)个\(\frac{1}{n}\)相加的和的极限是\(1\).
【注2】一般有限项成立的结果，无限项可能不成立，如果成立必须证明。

性质2：有限个无穷小量之积仍是无穷小量

【证明】用极限四则运算，证法和刚才类似，不赘述，乘积的极限等于极限的乘积，前提极限存在。

【注1】无限个无穷小量之积不一定是无穷小量，按定义，有一个无穷小量，就有一个邻域半径，取多个半径的交集可能是空集。

有界量的定义

【定义】若\(\exists \delta_0>0,\exists M>0\)，当\(x\subset \stackrel{o}{U}(x_0,\delta_0)\)，都有\(|f(x)|\leqslant M\)，且\(M\)为常数，即\(f(x)\)在\(x\subset \stackrel{o}{U}(x_0,\delta_0)\)内有界，称\(f(x)\)当\(x\to x_0\)时是有界量。
【推论】\(f(x)\)是有界函数\(\Rightarrow f(x)\)是有界量，反之不成立。（一点空心邻域有界，空心邻域外部还可能有函数的无数个点，找不到最大值，反之不成立）

【注】有界量的极限不一定存在，比如\(\lim\limits_{x\to +\infty}\sin x\)不存在且\(\sin x\)是有界量。

性质3：有界量与无穷小量之积仍是无穷小量

【证明】设\(f(x)\)当\(x\to x_0\)时是有界量，\(g(x)\)当\(x\to x_0\)时是无穷小量。
由定义知，\(\exists \delta_0>0\)，当\(0<|x-x_0|<\delta_0\)时，\(|f(x)|\leqslant M\)
\(\forall\varepsilon>0, \exists \delta_1\)，当\(0<|x-x_0|<\delta_1\)时，都有\(|g(x)-0|=|g(x)|<\varepsilon\)
取\(\{\delta_0,\delta_1\}=\delta_2\)（取两个空心邻域半径最小值）
当\(0<|x-x_0|<\delta_2\)时，都有\(|f(x)|\leqslant M,|g(x)|<\varepsilon\)
当\(0<|x-x_0|<\delta_2\)时，\(|f(x)g(x)-0|=|f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|<M\varepsilon\)（只要能包含0到某个正数任意小就行，\(M\varepsilon\)还是0到正无穷范围，如果写的标准写，取\(\varepsilon=\frac{\varepsilon}{M}\)）
则有界量\(f(x)\)与无穷小量\(g(x)\)之积仍是无穷小量

【推论】有界函数与无穷小量之积仍是无穷小量。（因为有界函数是有界量，故推出）

【例】\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0\)
【解】实际上原式\(=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\cdot \sin x= 0\).（无穷小量乘有界函数）

【例】$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}=0$.（无穷小量乘有界函数）