【深度学习数学基础：概率论与数理统计】1.2.1 概率的公理化定义

1. 随机事件与概率

1.2 概率的定义及其确定方法

1.2.1 概率的公理化定义

定义1.2.1 设\(\Omega\)为一个样本空间，\(\mathcal{F}\)为\(\Omega\)的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件\(A \in \mathcal{F}\)，定义在\(\mathcal{F}\)上的一个实值函数\(P(A)\)满足：

（1）非负性公理：若\(A \in \mathcal{F}\)，则\(P(A) \geq 0\)；

（2）正则性公理：\(P(\Omega) = 1\)；

（3）可列可加性公理：若\(A_1, A_2, \cdots, A_n, \cdots\)互不相容，则

\[P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i), \tag{1.2.1} \]

则称\(P(A)\)为事件\(A\)的概率，称三元素\((\Omega, \mathcal{F}, P)\)为概率空间。

概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的函数，若在事件域\(\mathcal{F}\)上给出一个函数，当这个函数能满足上述三条公理，就被称为概率；当这个函数不能满足上述三条公理中任一条，就被认为不是概率。

公理化定义没有告诉人们如何去确定概率。历史上在公理化定义出现之前，概率的频率定义、古典定义、几何定义和主观定义都在一定的场合下，有着各自确定概率的方法，所以在有了概率的公理化定义之后，把它们看作确定概率的方法是恰当的。下面先介绍在确定概率的古典方法中大量使用的排列与组合公式，然后分别讲述确定概率的方法。