【自学嵌入式：计算机组成原理】27. 乘法和除法电路的实现原理
27. 乘法和除法电路的实现原理
二进制乘法需要有一个与门和一个移位器
计算机的四则运算实现逻辑
计算机的加减乘除运算并非依赖独立电路，而是以加法电路为核心，通过逻辑转换与硬件优化，统一实现所有算术操作。以下从基础原理到硬件设计逐步解析，帮助理解底层逻辑。
一、加减法：共享加法电路
计算机中，加法与减法均通过加法电路完成，核心逻辑是将减法转换为“加上负数的补码”（补码规则：负数的补码 = 正数原码按位取反 + 1 ）。
示例：计算 \(5 - 3\)
-
减法转加法：利用补码，减法可表示为加法：
\[5 - 3 = 5 + (-3) \] -
求负数的补码（以8位二进制为例）：
- 正数 \(3\) 的原码：\(0000\ 0011\)
- 按位取反：\(1111\ 1100\)
- 加1得到补码：\(1111\ 1101\)（即 \(-3\) 的补码）
-
加法电路运算：
正数 \(5\) 的补码（与原码一致）为 \(0000\ 0011\)，与 \(-3\) 的补码 \(1111\ 1101\) 相加：\[0000\ 0011 + 1111\ 1101 = 1\ 0000\ 0000 \]截断8位后结果为 \(0000\ 0010\)（对应十进制 \(2\) ）。
因此，加减法共用一套加法电路，减法仅需额外的“补码转换”逻辑。
二、乘法：多次加法与硬件优化
乘法的本质是重复加法，但现代计算机通过二进制移位 + 与门优化，大幅提升运算效率。
1. 基本原理：乘法 = 多次加法
十进制中，乘法可拆解为重复加法。例如：
早期计算机通过“循环加法”实现乘法，但纯软件循环效率极低，需硬件优化。
2. 二进制乘法优化：移位 + 与门
二进制乘法利用“位运算特性”简化：乘数的每一位决定是否将被乘数左移对应位数后累加。
示例：二进制乘法 \(11_2 \times 11_2\)（即十进制 \(3 \times 3\) ）
- 被乘数：\(11_2\)（十进制 \(3\) ）
- 乘数：\(11_2\)（十进制 \(3\) ）
二进制乘法规则：
- 乘数的低位（第0位）为 \(1\) → 加 \(\text{被乘数} \ll 0\)（即 \(11_2\) ）；
- 乘数的高位（第1位）为 \(1\) → 加 \(\text{被乘数} \ll 1\)（即 \(110_2\) ）；
- 最终累加：\(11_2 + 110_2 = 1001_2\)（对应十进制 \(9\) ）。
硬件实现：与门 + 移位器 + 加法器
- 与门：判断乘数的每一位是否为 \(1\)（若为 \(1\)，则触发对应移位操作）。
- 移位器：根据乘数的位位置，将被乘数左移相应位数（如第 \(n\) 位为 \(1\)，则左移 \(n\) 位）。
- 加法器：累加所有移位后的结果，得到最终乘积。
三、除法：多次减法
除法的本质是重复减法，核心逻辑是“求商（减法次数）与余数（最终剩余值）”。
示例：计算 \(10 \div 3\)
通过重复减法实现：
- 减法次数：\(3\) 次（商为 \(3\) ）
- 最终剩余：\(1\)（余数为 \(1\) ）
计算机实现逻辑
计算机中，除法通过“循环减法 + 计数器”实现：
- 初始化商为 \(0\)，余数为被除数；
- 当余数 ≥ 除数时，执行 \(\text{余数} = \text{余数} - \text{除数}\)，并将商加 \(1\)；
- 直到余数 < 除数，停止操作。
四、现代计算机的优化方向
为提升运算效率，现代计算机针对乘除法设计了专用硬件电路：
1. 移位乘法/除法电路
利用二进制“左移（乘法）/右移（除法）”的高效性，替代纯软件循环：
- 乘法：\(a \times 2^n\) 直接通过左移 \(n\) 位实现（无需多次加法）。
- 除法：\(a \div 2^n\) 直接通过右移 \(n\) 位实现（无需多次减法）。
2. 小数运算电路
处理带小数的乘除时（如浮点数），需遵循IEEE 754 标准，通过“符号位、指数位、尾数位”的分离与组合，设计专用电路实现高效运算。
总结
计算机的四则运算以加法电路为基础，通过逻辑转换与硬件优化实现：
- 加减法：减法转补码加法，共享加法电路；
- 乘法：本质是多次加法，通过移位 + 与门优化硬件实现；
- 除法：本质是多次减法，通过循环减法与计数器实现；
- 现代优化：专用移位电路、浮点数运算电路，进一步提升效率。
理解这一逻辑，可掌握计算机算术运算的底层设计思想——用简单电路实现复杂操作，通过逻辑转换与硬件优化平衡功能与效率。
浙公网安备 33010602011771号