【自学嵌入式：计算机组成原理】26. 补码的计算方法

26. 补码的计算方法

有符号数与无符号数

1. 核心区别：最高位的作用

计算机以二进制位存储整数，位数决定表示范围（如8位、16位）。区分“有符号数”与“无符号数”的关键是最高位是否为符号位：

• 无符号数：所有位均用于表示数值大小，无符号位。

  • 以8位无符号数为例：范围是 \(0000\ 0000_2\) 到 \(1111\ 1111_2\)（即十进制 \(0\) 到 \(255\) ），共 \(2^8 = 256\) 个值。

• 有符号数：最高位为符号位（0表示正数，1表示负数），剩余位表示数值。计算机中，有符号数统一用补码存储（原因：简化加减法运算、避免正负0歧义）。

  • 以8位有符号数为例：范围是 \(-128\) 到 \(127\)（补码规则决定，后续详解）。

2. 有符号数的补码规则

有符号数用补码存储，需掌握以下要点：

（1）正数的补码

正数的补码与原码（二进制本身）相同。

• 例如：十进制 +5（8位），原码与补码均为 \(0000\ 0101_2\)（最高位0表示正数，后7位表示数值）。

（2）负数的补码

负数的补码通过“原码（正数）按位取反 + 1”得到：

1. 写出对应正数的二进制原码；
2. 对所有位按位取反（0变1，1变0）；
3. 加1，结果即为负数的补码。

• 示例：求 -3 的8位补码
  ① 正数 +3 的原码：\(0000\ 0011_2\)
  ② 按位取反：\(1111\ 1100_2\)
  ③ 加1：\(1111\ 1100_2 + 0000\ 0001_2 = 1111\ 1101_2\)
  因此，-3 的8位补码是 \(1111\ 1101_2\)。

（3）补码的优势：统一“0”的表示

无符号数或早期编码中，“0”可能有两种表示（如 +0 和 -0 ），导致歧义。补码通过规则让 +0 和 -0 统一：

• +0 的补码：\(0000\ 0000_2\)
• 若按负数规则计算 -0：正数 0 取反为 \(1111\ 1111_2\)，加1后溢出（\(1111\ 1111_2 + 1 = 1\ 0000\ 0000_2\)），截断8位后为 \(0000\ 0000_2\)，与 +0 一致。
  因此，补码下“0”仅有一种表示，简化了运算逻辑。

3. 表示范围对比（以8位为例）

类型	二进制范围	十进制范围	说明
无符号数	\(0000\ 0000_2 \sim 1111\ 1111_2\)	\(0 \sim 255\)	8位全表数值
有符号数	\(0000\ 0000_2 \sim 0111\ 1111_2\)（正数） \(1000\ 0000_2 \sim 1111\ 1111_2\)（负数）	\(-128 \sim 127\)	最高位为符号位，补码规则扩展负数范围

4. 混合使用的风险

若程序中混合有符号数与无符号数运算，会因“符号位是否参与数值计算”产生错误。例如：

• 无符号数 255（\(1111\ 1111_2\)）与有符号数 -1（补码 \(1111\ 1111_2\)）二进制相同，但数值逻辑不同。
• 运算时，计算机可能误将有符号数的符号位当作数值位（或反之），导致结果异常。

补码的运算应用：简化加减法

补码的核心价值是将减法转化为加法，统一计算机的运算逻辑（硬件只需实现加法器）。

示例：计算 5 - 3（等价于 5 + (-3) ）

步骤1：将运算转化为“加法”
十进制：5 - 3 = 5 + (-3)

步骤2：写出对应数的8位补码

• +5 的补码：\(0000\ 0101_2\)（正数补码与原码一致）
• -3 的补码：按“取反+1”规则，得到 \(1111\ 1101_2\)（前文已计算）

步骤3：补码相加
二进制加法：

0000 0101 （+5 的补码）

1111 1101 （-3 的补码）
= 1 0000 0010 （进位 1，共 9 位）

步骤4：截断位数（保留8位）
因是8位运算，舍弃最高位进位，结果为 \(0000\ 0010_2\)，对应十进制 2（正确结果：5-3=2）。

原理：补码如何让减法变加法

补码的设计利用了模运算（如8位的模是 \(2^8 = 256\) ）。对负数而言，补码等价于“模减去其绝对值”：

• 例如，-3 的补码 \(1111\ 1101_2\) 对应十进制 253（\(2^8 - 3 = 253\) ）。
• 因此，5 + (-3) 等价于 5 + 253 = 258，对256取模（\(258 \mod 256 = 2\) ），结果与十进制减法一致。

总结

1. 有符号数与无符号数：核心区别是最高位是否为符号位，无符号数全表数值，有符号数用补码存储（最高位为符号位）。
2. 补码规则：正数补码与原码一致，负数补码为“原码（正数）取反+1”，可避免正负0歧义。
3. 运算优势：补码将减法转化为加法，简化硬件设计，运算时需注意位数截断与符号位处理。
4. 实践风险：混合有符号数与无符号数运算易引发逻辑错误，需严格区分类型。

掌握补码与有符号数的规则，是理解计算机数值存储、运算逻辑的基础，后续学习数据类型、溢出问题时需深度结合这些概念。