【深度学习数学基础：概率论与数理统计】1.1.2 样本空间

1. 随机事件与概率

1.1 随机事件及其运算

1.1.2 样本空间

随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为\(\Omega = \{\omega\}\)，其中\(\omega\)表示基本结果，又称为样本点。样本点是今后抽样的最基本单元。认识随机现象首先要列出它的样本空间。

例1.1.2 下面给出例1.1.1中随机现象的样本空间。

1. 抛一枚硬币的样本空间为\(\Omega_1 = \{\omega_1, \omega_2\}\)，其中\(\omega_1\)表示正面朝上，\(\omega_2\)表示反面朝上。
2. 掷一颗骰子的样本空间为\(\Omega_2 = \{\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_6\}\)，其中\(\omega_i\)表示出现\(i\)点，\(i = 1, 2, \cdots, 6\)。也可更直接明了地记此样本空间为\(\Omega_2 = \{1, 2, \cdots, 6\}\)。
3. 一天内进入某商场的顾客数的样本空间为
   \[\Omega_3 = \{0, 1, 2, \cdots, 500, \cdots, 10^5, \cdots\}, \]
   其中“\(0\)”表示“一天内无人进入此商场”，而“\(10^5\)”表示“一天内有十万人进入此商场”。虽然此两种情况很少发生，但我们无法说此两种情况不可能发生，甚至于我们不能确切地说出一天内进入该商场的最多人数，所以该样本空间用非负整数集表示，既不脱离实际情况，又便于数学上的处理。
4. 电视机寿命的样本空间为\(\Omega_4 = \{t : t \geq 0\}\)，其中\(t\)为一台电视机开始工作到首次发生故障的时间间隔。
5. 测量误差的样本空间为\(\Omega_5 = \{x : -\infty < x < \infty\}\)，其中\(x\)为测量值\(y\)与真值\(\mu\)之间的差，即\(x = y - \mu\)。

需要注意的是：

1. 样本空间中的元素可以是数也可以不是数。
2. 随机现象的样本空间至少有两个样本点，如果将确定性现象放在一起考虑，则含有一个样本点的样本空间对应的为确定性现象。
3. 从样本空间含有样本点的个数来区分，样本空间可分为有限与无限两类，譬如以上样本空间\(\Omega_1\)和\(\Omega_2\)中样本点的个数为有限个，而\(\Omega_3\)、\(\Omega_4\)及\(\Omega_5\)中样本点的个数为无限个。但\(\Omega_3\)中样本点的个数为可列个，而\(\Omega_4\)和\(\Omega_5\)中的样本点的个数为不可列无限个。在以后的数学处理上，我们往往将样本点的个数为有限个或可列的情况归为一类，称为离散样本空间；而将样本点的个数为不可列无限个的情况归为另一类，称为连续样本空间。由于这两类样本空间有着本质上的差异，故分别称呼之。