【深度学习数学基础：高等数学】【苏德矿高等数学】第4讲：数列极限定义-2

2. 数列极限

2.2 数列极限

2.2.3 用数列极限定义来证明数列极限存在

要证明\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\)：\(\forall\varepsilon>0,\exists N\)，当\(n>N\)时，都有\(|a_n-a|<\varepsilon\)成立。
在具体的题目里，\(a_n,a\)是已知的，\(\forall\varepsilon>0\)给过以后也可以看成定值，\(|a_n-a|<\varepsilon\)不等式已知，\(n>N\)是待求的。
\(|a_n-a|<\varepsilon,n>N\)的关系式：

• \(|a_n-a|<\varepsilon\Leftrightarrow n>N\)，\(N\)待求，\(|a_n-a|<\varepsilon\)已知
• \(|a_n-a|<\varepsilon\Rightarrow n>N\)，\(N\)待求，\(|a_n-a|<\varepsilon\)已知
• \(|a_n-a|<\varepsilon\Leftarrow n>N\)，\(N\)待求，\(|a_n-a|<\varepsilon\)已知

这三个关系式只有有以下两种是正确的。因为我们要得到是左侧的：

• \(|a_n-a|<\varepsilon\Leftrightarrow n>N\)，\(N\)待求，\(|a_n-a|<\varepsilon\)已知
• \(|a_n-a|<\varepsilon\Rightarrow n>N\)，\(N\)待求，\(|a_n-a|<\varepsilon\)已知

找充要条件

【例】证明\(\lim\limits_{n\to\infty}c=c,c\)为常数。
【证明】\(\forall\varepsilon>0\)，取\(N=1\)，当\(n>1\)时，\(|c-c|=0<\varepsilon\)，知\(\lim\limits_{n\to\infty}c=c,c\)为常数。

【例】证明\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0,k>0\)且为常数。
【证明】\(\forall\varepsilon>0\)，若要\(|\frac{1}{n^k}-0|<\varepsilon\)成立，
\(\Leftrightarrow \frac{1}{n^k}<\varepsilon\Leftrightarrow n^k>\frac{1}{\varepsilon}\Leftrightarrow n>(\frac{1}{\varepsilon}^{\frac{1}{k}})\)
取\(N=[\frac{1}{\varepsilon}^{\frac{1}{k}}]\)（向下取整，所以\(\frac{1}{\varepsilon}^{\frac{1}{k}}\geqslant [\frac{1}{\varepsilon}^{\frac{1}{k}}]\)）
当\(n>N\)，都有\(|\frac{1}{n^k}-0|<\varepsilon\)成立，故\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0,k>0\)且为常数。
【注1】直接写取\(N=\frac{1}{\varepsilon}^{\frac{1}{k}}\)也没问题，\(N\)只是一个界限。
【注2】从而\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0\)可以直接计算，因为已经证明过了。\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0\)

【例】证明\(\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0,q\)为常数且\(|q|<1\).
【证明】当\(q=0\)，\(\{q^m\}=\{0^n\}=\{0\}\)的极限为0；
当\(q\ne 0\)，\(\forall\varepsilon>0\)，若要\(|q^n-0|<\varepsilon\)成立（或者写\(0<\varepsilon<1\)，见注释1）
\(\Leftrightarrow |q|^n<\varepsilon\)，下面处理要取以\(e\)为底的对数（严格递增函数），如果取了对数，\(q=0\)的情况要单独讨论，所以才分类讨论
\(\Leftrightarrow \ln |q|^n < \ln \varepsilon\)
\(\leftrightarrow n\ln |q| < \ln \varepsilon\)
由于\(|q|<1\)，是负数，所以其对数是负数，除负数，不等号方向改变
\(\Leftrightarrow n>\frac{\ln \varepsilon}{\ln |q|}\)
取\(N=[\frac{\ln \varepsilon}{\ln |q|}]\)，当\(n>N\)时，都有\(|q^n-0|<\varepsilon\)，即\(\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0,q\)为常数且\(|q|<1\)且\(q\ne 0\).
总之\(\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0,q\)为常数且\(|q|<1\).
【注1】如果\(\varepsilon>1\)，\(\ln \varepsilon\)是正数，\(\ln |q|\)是负数，\(\frac{\ln \varepsilon}{\ln |q|}\)是一个负数，取整就是负整数了，但是其实\(N\)是一个界限，\(n\)大于这个负整数，说明从1开始就成立，如果非要按照定义：取\(0<\varepsilon<1\)这时候符合要求。
【注2】证明这个结论，可直接计算出\(\lim\limits_{n\to\infty}(-\frac{1}{\sqrt{2}})^n=0\)...

【例】证明\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1,a>0\)且为常数。
【证明】当\(a=1\)时，\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1}=\lim\limits_{n\to\infty}1=1\)
当\(a>1\)时，\(\forall \varepsilon>0\)，若要\(|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon\)成立
\(\Leftrightarrow \sqrt[n]{a}-1 < \varepsilon\)
\(\Leftrightarrow a^{\frac{1}{n}}<1+\varepsilon\)
\(\Leftrightarrow \ln a^{\frac{1}{n}}<\ln (1+\varepsilon)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{n}\ln a<\ln (1+\varepsilon)\)
由于\(\ln a\)是正数，除过去不等号方向不变
\(\Leftrightarrow \frac{1}{n}< \frac{\ln (1+\varepsilon)}{\ln a}\)
两边取倒数，不等号改变
\(\Leftrightarrow n> \frac{\ln a}{\ln (1+\varepsilon)}\)

取\(N=[\frac{\ln a}{\ln (1+\varepsilon)}]\)，当\(n>N\)时，都有\(|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon\)

因此\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\)
当\(0<a<1\)时，\(\forall \varepsilon>0\)，若要\(|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon\)成立
由于\(\sqrt[n]{a}-1<0\)，则\(|\sqrt[n]{a}-1|=1-\sqrt[n]{a}\)
\(\Leftrightarrow 1-\sqrt[n]{a} < \varepsilon\)
\(\Leftrightarrow 1 - \varepsilon< \sqrt[n]{a}\)
\(\Leftrightarrow \ln (1 - \varepsilon)< \frac{1}{n}\ln a\)
由于\(\ln a\)是负数，除过去不等号方向改变
\(\Leftrightarrow \frac{\ln (1 - \varepsilon)}{\ln a}> \frac{1}{n}\)
两边取倒数，不等号改变
\(\Leftrightarrow n > \frac{\ln a}{\ln (1 - \varepsilon)}\)
取\(N=[\frac{\ln a}{\ln (1 - \varepsilon)}]\)，当\(n>N\)时，都有\(|\sqrt[n]{a}-1|<\varepsilon\)
因此\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\)
综上所述，\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1,a>0\)且为常数。

适当放大法（比较灵活）

适当放大法用到各种不等式知识
\(\forall\varepsilon>0\)，若要\(|a_n-a|<\varepsilon\)成立，由\(|a_n-a|\leqslant g(n),(n>N_1)\)，其中\(g(n)\)是放大以后\(n\)的表达式，\(g(n)\)的要求：

• \(\lim\limits_{n\to\infty}g(n)=0\)
• \(g(n)\)尽量简单

只要\(g(n)<\varepsilon \Leftrightarrow n>N_2\)
希望两个不等式都成立，则按照取最大原则，如下图：

取\(N=\max\{N_1,N_2\}\)，这样一来，当\(n>N\)时，都有\(|a_n-a|\leqslant g(n)<\varepsilon\)
【注】放大以后\(n\)不一定从\(N\)开始
【分析：为什么\(\lim\limits_{n\to\infty}g(n)=0\)】\(0\leqslant |a_n-a|\leqslant g(n)\)，说明\(g(n)\geqslant 0\)，从而
\(g(n)<\varepsilon\Leftrightarrow |g(n)|<\varepsilon\)
\(\Leftrightarrow |g(n)-0|<\varepsilon\)
也就是\(\forall \varepsilon>0,\exists N_2\)，当\(n>N_2\)时，都有\(|g(n)-0|<\varepsilon\)
即\(\lim\limits_{n\to\infty}g(n)=0\)

【例】证明\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2\sin n! +100}{n^{40}+2n^{32}+1}=0\).
【证明】\(\forall\varepsilon>0\)，若要\(|\frac{n^2\sin n! +100}{n^{40}+2n^{32}+1}-0|<\varepsilon\)成立

由于\(|a+b|\leqslant|a|+|b|,a,b\)同号，且数列\(n\)是从1开始取的

则有\(|\frac{n^2\sin n! +100}{n^{40}+2n^{32}+1}|\leqslant\frac{|n^2\sin n!|+100}{n^{40}+2n^{32}+1}\)

又由于\(|\sin n!|\leqslant 1\)（如果\(n!\)没法让\(|\sin n!|\)取到1也没关系，因为\(a<b\Rightarrow a\leqslant b\)，但是反之不成立，万一\(a=b\)就不成立了），则由
\(\frac{|n^2\sin n!|+100}{n^{40}+2n^{32}+1}\leqslant\frac{n^2+100}{n^{40}+2n^{32}+1}\)
所以\(\frac{n^2+100}{n^{40}+2n^{32}+1}<\frac{n^2+100}{n^{40}}<\frac{n^2+n^2}{n^40}(n>10)\)
写\(n>100\)也行，不需要找到精确的界限，找到\(n>N\)就可以
\(\frac{n^2+n^2}{n^40}(n>10)=\frac{2n^2}{n^40}<\frac{2n^2}{n^3}=\frac{2}{n}(n>10)\)
不能放大到\(\frac{2}{n}<2\)，过度，\(2\)的极限不为0，我们要凑出需要证明的形式即可
只要\(\frac{2}{n}<\varepsilon\)成立\(\frac{n}{2}>\frac{1}{\varepsilon}\Leftrightarrow n>\frac{2}{\varepsilon}\)
取\(N=\max\{10, \frac{2}{\varepsilon}\}\)
当\(n>N\)时，都有\(|\frac{n^2\sin n! +100}{n^{40}+2n^{32}+1}-0|<\frac{2}{n}<\varepsilon\)（中间的\(<\frac{2}{n}\)以后可以不写）
知\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2\sin n! +100}{n^{40}+2n^{32}+1}=0\).

【例】证明\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0,a\)为常数。
【证明】\(\forall\varepsilon>0\)，若要\(|\frac{a^n}{n!}-0|<\varepsilon\)成立
\(\Leftrightarrow\frac{|a|^n}{n!}<\varepsilon\)
由于\(a\)为常数，\(\exists\)自然数\(m\)为定值，使得\(|a|\leqslant m\)
由\(|\frac{a^n}{n!}-0|=\frac{|a|^n}{n!}=\frac{|a|}{1}\times\frac{|a|}{2}\times\cdots\times\frac{|a|}{m}\times\frac{|a|}{m+1}\times\cdots\times\frac{|a|}{n}\)
\(\leqslant \frac{m}{1} \times \frac{m}{2} \times \cdots \times \frac{m}{m} \times \frac{m}{m+1} \times \cdots \times \frac{m}{n}\)
记\(M=\frac{m}{1} \times \frac{m}{2} \times \cdots \times \frac{m}{m}>0\)（是一个数）
从而\(|\frac{a^n}{n!}-0|\leqslant M\cdot\frac{m}{m+1} \times \cdots \times \frac{m}{n}(n>m)\)
因此\(|\frac{a^n}{n!}-0|\leqslant M\cdot\frac{m}{m+1} \times \cdots \times \frac{m}{n}(n>m)<M\cdot\frac{m}{n}(n>m)\)（前面那些项都小于1，放大了）
只要\(\frac{Mm}{n}<\varepsilon\Leftrightarrow\frac{n}{Mm}>\frac{1}{\varepsilon}\Leftrightarrow n>\frac{Mm}{\varepsilon}\)
取\(N=\max\{[\frac{Mm}{\varepsilon}],m\}\) ，从而当\(n>N\)时，都有\(|\frac{a^n}{n!}-0|<\frac{Mm}{n}<\varepsilon\)
知\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0,a\)为常数。

【前置知识】二项展开式：\((a+b)^n=C_{n}^{0}a^n+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\cdots+C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+\cdots+C_{n}^{n}b^{n}\)
【补充内容】证明\(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1\).
【证明】设\(|\sqrt[n]{n}-1|=\sqrt[n]{n}-1=h_{n}\)，可得\(n=\left(1+h_{n}\right)^{n}\)，利用二项展开式，有：

\[n=1+n h_{n}+\frac{n(n-1)}{2} h_{n}^{2}+\cdots+h_{n}^{n}>1+\frac{n(n-1)}{2} h_{n}^{2}, \]

由于\(n>1+\frac{n(n-1)}{2}h_{n}^{2}\)
\(\Leftrightarrow n-1>\frac{n(n-1)}{2}h_{n}^{2}\)
\(\Leftrightarrow (n-1)(1-\frac{n}{2}h_{n}^{2})>0\)
由于数列的\(n\)从1开始，即\(n\geqslant 1 >0\)，所以\(n-1>0\)，故\(1-\frac{n}{2}h_{n}^{2}>0\)
即\(1>\frac{n}{2}h_{n}^{2}\)，亦即\(\frac{n}{2}>h_{n}^{2}\)，所以\(h_{n}<\sqrt{\frac{2}{n}}\)，于是

\[|\sqrt[n]{n}-1|<\sqrt{\frac{2}{n}} \]

所以\(\forall\varepsilon>0\)，要使\(|\sqrt[n]{n}-1|<\varepsilon\)，只要\(\sqrt{\frac{2}{n}}<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{2}{n}<\varepsilon^{2} \Leftrightarrow n>\frac{2}{\varepsilon^{2}}\).
取\(N=\max\{1,[\frac{2}{\varepsilon^{2}}]\}\)，当\(n>N\)时，都有\(|\sqrt[n]{n}-1|<\varepsilon\)，所以\(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1\).

2.2.4 重要的数列极限

• \(\lim\limits_{n\to \infty}C=C,C\)为常数
• \(\lim\limits_{n\to \infty}{\frac{1}{n^k}}=0,k>0\)且为常数
• \(\lim\limits_{n\to \infty}q^n=0,q\)为常数且\(|q|<1\)
• \(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1,a>0\)且为常数
• \(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1\)