【深度学习数学基础：高等数学】【苏德矿高等数学】第4讲：数列极限定义-1

2. 数列极限

数列极限是整个微积分的核心。它的思想贯穿整个微积分之中。
数列极限是最基本的、最核心的、最重要的、最难的。

2.1 数列

【定义】无限排列的一列数\(a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\)就称为数列，记作\(\{a_n\}\)，称\(a_n\)为数列的通项。
【定义】\(y=f(x),x\in\boldsymbol{D}\)，特别地\(\boldsymbol{D}=\{1,2,3,\cdots,n,\cdots\}=\mathbb{N}\)，\(y=f(x),x\in\mathbb{N}\)，改写为\(y=f(n),n\in\mathbb{N}\)（自变量取正整函数，\(n:1,2,3,\cdots,n,\cdots\)，\(f(n):f(1),f(2),f(3),\cdots,f(n),\cdots\)），由于自变量\(n\)可以按照自然数的顺序排成无限列，相应地，它的函数值也可以拍成无限列，\(f(1),f(2),f(3),\cdots,f(n),\cdots\)就称为数列，记作\(\{f(n)\}\)，\(f(n)\)就称为数列的通项。
【注】设\(f(n)=a_n\)，两种定义都是对的，无非就是形式不同，即数列\(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots\).

庄子说：一尺之棰，日取之半，万世不竭。（一尺长的棒子，每条取剩下的一半，这样下去，永远取不完），即
天数为\(n:1,2,3,\cdots,n,\cdots\)，
手中棒子的长度\(\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\cdots,\frac{1}{2^n},\cdots\)
趋势：极限为\(0\).
【例】\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots\)
画数轴，随着\(n\)无限增大，这个项与0越来越无限接近。

【例】\(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{(-1)^{n-1}}{n},\cdots\)
随着\(n\)无限增大，围绕着\(0\)两侧“跳来跳去”，极限为0

【例】\(\{1+\frac{(-1)^{n-1}}{n}\}\)的极限为1，并不是说极限都为0.

【例】\(\{n\}\)没有趋势（无穷大，无穷大不是数，所以称作没有趋势），也就是没有极限。

【例】\(1,-1,1,-1,\cdots,(-1)^{n-1},\cdots\)随着\(n\)无限增大，它不能与某个常数无限接近，它也是没有极限的。

因此我们只关心有趋势，也就是一个数列有极限，也就是随着\(n\)增大，数列的项与某个常数\(a\)无限地接近。

2.2 数列极限

【定义（定性分析）】设\(\{a_n\}\)是一个给定的数列，\(a\)是一个确定的常数，随着\(n\)无限增大，数列的项\(a_n\)与\(a\)无限地接近，称数列\(\{a_n\}\)的极限为\(a\)，记作\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\)或\(a_n\to a(n\to\infty)\).

寻找用数学表达式给的定义，随着\(n\)无限增大，\(|a_n-a|\)与\(0\)无限地接近。\(\forall \varepsilon>0\)使得\(|a_n-a|<\varepsilon\)（你小我比你还小），找到一个自然数\(N\)，当\(n>N\)都有\(|a_n-a|<\varepsilon\).

2.2.1 数列极限的定义

【定义】设\(\{a_n\}\)是一个给定的数列，\(a\)是一个确定的常数，若\(\forall \varepsilon>0\)，相应地\(\exists\)自然数\(N\)，当\(n>N\)时，都有\(|a_n-a|<\varepsilon\)，称数列\(\{a_n\}\)的极限是\(a\)，记作\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\)或\(a_n\to a(n\to\infty)\).

【例】\(1-1+1-1+\cdots+(-1)^{n-1}+\cdots\)，求和。
【错解】\((1-1)+(1-1)+\cdots+(1-1)+\cdots=0\)，\(1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots+(-1+1)+\cdots=1\)
不能随便这样加括号（结合律），有限个数相加有结合律，无限个数相加不一定有结合律，其实这个是一个级数。

【例】\(1,-1,1,-1,\cdots,(-1)^{n-1},\cdots\)（不能取\(n\)大于偶数项，奇数项，极限是唯一的，不可能\(1\)是它的极限，\(-1\)也是它的极限）

对定义更进一步理解：

• 定义中的\(\forall \varepsilon>0\)，从形式上，\(\varepsilon\)指的是一切正数，限制\(0<\varepsilon<1\)也可以（因为它仍然包含着0的右边的小区间，可以做到任意小的正数），但是不能限制\(\varepsilon>\)某个正数（这就没法衡量无限地接近，比如\(1,-1,1,-1,\cdots,(-1)^{n-1},\cdots\)这个数列，当\(\varepsilon>2\)时，\(|a_n-1|<2<\varepsilon\)，但是这不能说明1就是它的极限），\(\varepsilon\)有时候也可以换成\(\varepsilon ^ 2,\sqrt{\varepsilon}\)（\(\varepsilon>0,\varepsilon^2 >0,\sqrt{\varepsilon}>0\)，只要满足大于0的正数就行），但是\(\varepsilon\)不能换成\(\varepsilon +1\)，因为\(\varepsilon+1>1\)了，\(|a_n-a|<\varepsilon\)也可以改成\(|a_n-a|\leqslant \varepsilon\).
• \(N\)的相应性，先有\(\varepsilon\)，后有\(N\)，再确定\(N\)，使得\(n>N\)时，都有\(|a_n-a|<\varepsilon\)成立，也可以取\(N+1,N+2,\cdots\)作为新的\(N\)更能成立。甚至\(n>N\)可以改写\(n\geqslant N\)，\(N\)也可以不是自然数，它只是一个下标的界限，假如\(n>3.5\)，说明\(n\)从4开始也成立。
• 几何意义：\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\)即\(\forall \varepsilon>0,\exists N\)，当\(n>N\)时都有\(|a_n-a|<\varepsilon\Leftrightarrow -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon\Leftrightarrow a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon\Leftrightarrow a_n\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\triangleq U(a,\varepsilon)\)【注1与注2】
  \(U(a,\varepsilon)\)的外部只有有限项，其余项都在此邻域中，并且有无限项。
  

也就是对于\(a\)的任何\(\varepsilon\)邻域\(U(a,\varepsilon)\)在外部仅有数列的有限项，其余的项的统统在邻域内。如果这个邻域的半径取的越小，外面的项越多，再多也是有限项，其余的项统统在这个邻域内。

【注1】邻域与去心邻域
【定义】对区间我们常引入下面的记号，开区间\(\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \xlongequal{\text { def }} U\left(x_{0}, \delta\right)(\delta>0)\)称为以\(x_0\)为中心，以\(\delta\)为半径的邻域，简称为\(x_0\)的\(\delta\)邻域。若不需要指明半径\(\delta\)时，记作\(U(x_0)\)，称为\(x_0\)的某邻域。邻域一般是一个以\(x_0\)点为对称点的对称区间，如下图所示：

【定义】\(\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right) \cup\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right) \xlongequal{\text { def }} \stackrel{\circ}{U}\left(x_{0}, \delta\right)\)称为以\(x_0\)为中心，以\(\delta\)为半径的去心邻域（也叫空心邻域），简称为\(x_0\)的\(\delta\)去心邻域（空心邻域）。若不需要指明半径\(\delta\)时，记作\(\stackrel{\circ}{U}(x_0)\)，称为\(x_0\)的某去心邻域（空心邻域）。去心邻域顾名思义是在邻域的基础上去掉对称中心\(x_0\)的区间，如下图所示：

2.2.2 分析法

【例】证明\(x>e\)时，\(x^2-3x+2>0\)
（使用分析法）
要证B成立，只要证A成立，指的是\(A\Rightarrow B\)，反之不一定。即A成立是B成立的充分条件。
【证】要证\(x^2-3x+2>0\)成立
只要证\((x-1)(x-2)>0\)成立
只要证\(x<1\)或\(x>2\)成立
由\(x>e\Rightarrow x>2\Rightarrow x^2-3x+2>0\).