【深度学习数学基础：高等数学】【苏德矿高等数学】第2讲：反函数、单调函数

1. 函数

1.3 复合函数

\(y=f(u),u=\varphi(x)\)能不能复合，\(y=f(\varphi(x))\)定义域是\(\emptyset\)，则\(y=f(u),u=\varphi(x)\)不能复合。
【例】\(y=\sqrt{u},u=-(1+x^2)\)不能复合。

若\(y=f(\varphi(x))\)定义域不是\(\emptyset\)就是一个复合函数。

【例】\(y=\sqrt{u},u=\sin x\)
\(y=\sqrt{\sin x}\)，定义域不是\(\emptyset\)，因此它是一个复合函数。
要使得\(y=\sqrt{\sin x}\)有意义，则要求\(\sin x\geqslant 0\)，因此\(x\in[2k\pi,2k\pi+\pi],k\in\mathbb{Z}\)

【例】\(y=2^x,y=x^2\)，\(y=2^x\)是外函数，\(y=x^2\)是内函数，则它们的复合函数是\(y=2^{x^2},x\in\mathbb{R}\)，如果把\(y=x^2\)看作外函数，\(y=2^x\)看作内函数，则新的复合函数是\(y=(2^x)^2=2^{2x}=(2^2)^x=4^x,x\in\mathbb{R}\).

【例】求\(y=\frac{1}{\frac{1}{1-x}-1}\)的定义域。
【解】（提前化简分式会把分母不为0的情况忽略，所以不要提前化简。）
\(1-x\ne 0,\frac{1}{1-x}-1\ne 0\)即\(x\ne 1,1-x\ne 1\)，亦即\(x\ne 1,x\ne 0\)，则定义域是\(\{x|x\ne1,x\ne 0\}\)

1.4 反函数

\(y=f(x),x\in\boldsymbol{D},\forall x_1,x_2\in\boldsymbol{D}\)且\(x_1\ne x_2\)都有\(f(x_1)\ne f(x_2)\)，称\(y=f(x),x\in\boldsymbol{D}\)为一一对应。反之\(\forall y \in\boldsymbol{R}(f)\)存在唯一的\(x\in\boldsymbol{D}\)（且\(f(x)=y\)）与之对应，得到一个定义在\(\boldsymbol{R}(f)\)上的函数，记作\(x=f^{-1}(y)\)称为\(y=f(x)\)的反函数。

• 反函数的定义域就是函数的值域，反函数的值域就是函数的定义域。函数\(y=f(x)\)与反函数\(x=f^{-1}(y)\)的图像是一样的（字母没有改写）
  

• 习惯上自变量用\(x\)表示，因变量用\(y\)表示，因此反函数改写为\(y=f^{-1}(x)\)的图像与函数\(y=f(x)\)图像关于直线\(y=x\)对称。

• 若\(y=f(x)\)的反函数为\(x=\varphi(y)\)，则\(f(\varphi(y))=y\)；

• 同理\(\varphi(f(x))=x\)

1.5 单调函数

【定义】

• 设\(y=f(x),x\in\boldsymbol{D},\forall x_1,x_2\in\boldsymbol{D}\)且\(x_1<x_2\)，都有\(f(x_1)\leqslant f(x_2)\)，称\(y=f(x)\)是\(\boldsymbol{D}\)上的递增函数。（如下图）
  

• 设\(y=f(x),x\in\boldsymbol{D},\forall x_1,x_2\in\boldsymbol{D}\)且\(x_1<x_2\)，都有\(f(x_1)\geqslant f(x_2)\)，称\(y=f(x)\)是\(\boldsymbol{D}\)上的递减函数。

• 递增函数与递减函数统称为单调函数。

• 若\(\forall x_1,x_2\in\boldsymbol{D}\)且\(x_1<x_2\)都有\(f(x_1)<f(x_2)\)，称\(y=f(x)\)是\(\boldsymbol{D}\)上的严格递增函数。（如下图）
  

• 若\(\forall x_1,x_2\in\boldsymbol{D}\)且\(x_1<x_2\)都有\(f(x_1)>f(x_2)\)，称\(y=f(x)\)是\(\boldsymbol{D}\)上的严格递减函数。

• 严格递增与严格递减函数统称为严格单调函数。

• 严格单调函数是单调函数，单调函数不一定是严格单调函数

1.6 判断反函数的充分条件

【定理】若\(y=f(x),x\in\boldsymbol{D}\)是严格单调函数，则必有反函数，且反函数也是严格单调函数，反之不成立。
【例】\(y=\frac{1}{x}\)的反函数是\(x=\frac{1}{y}\)，但它不是严格单调函数。

【例】只有三个点一一对应的函数，有反函数，但是它不是严格单调函数。