算法-基础

算法-基础

1、算法的特性

  1、有穷性：一个算法必须在执行有限步骤之后结束。
  
  2、确定性：算法的每一步必须是确切定义的，不能产生二义性。
  
  3、可行性：算法是能行的。
  
  4、输入：一个算法有零个或多个输入。
  
  5、输出：一个算法有零个或多个输出。

2、算法设计的要求

  1、正确性：不正确的程序不能使用   

  2、可读性（90%原则）：方便阅读、修改、提高

  3、健壮性：允许出错，报告原因，数据改正

  4、高效率与低存储量：时间与空间考虑，对算法性能至关重要

3、时间复杂度比较

  1、O(1) < O(log2n) < O(n) < O(nlog2n) < O(n2) < O(n3)

  2、O(2n) < O(n!) < O(nn)

  3、举例：
    O(1) (常数时间复杂度)
      数组访问：通过索引直接访问数组中的元素。例如：arr[i]。
      哈希表查找：在哈希表中查找一个元素的操作，平均时间复杂度为O(1)。

    O(log₂n) (对数时间复杂度)
      二分查找：在一个已排序的数组中查找元素，每次都将搜索范围减半。
      平衡二叉搜索树（如AVL树）查找：查找一个元素的时间复杂度为O(log n)，因为树的高度是对数级别。

    O(n) (线性时间复杂度)
      线性查找：在一个无序数组中查找某个元素，遍历所有元素。
      计算数组的和：遍历数组并累加所有元素的和。

    O(n log₂n) (线性对数时间复杂度)
      归并排序：一种分治算法，通过递归将数组分成子数组，再合并这些子数组的过程。
      快速排序：另一种分治算法，通过选择一个基准元素将数组分成两部分，并递归排序每一部分。

    O(n²) (平方时间复杂度)
      冒泡排序：比较相邻的元素并交换，直到整个数组排序完毕。最坏情况是O(n²)。
      插入排序：逐步将元素插入已排序的部分，最坏情况下也是O(n²)。

    O(n³) (立方时间复杂度)
      三重循环：例如计算一个3D矩阵的每个元素，通常需要三个嵌套循环来遍历。
      Floyd-Warshall算法：用于计算所有点对最短路径的算法，时间复杂度为O(n³)，因为它需要三层循环来更新每对节点的最短路径。

    O(2^n) (指数时间复杂度)
      递归解斐波那契数列：直接用递归计算斐波那契数列的值，每次计算时会重复计算许多子问题，因此时间复杂度为O(2^n)。
      旅行商问题（TSP）的暴力法：通过穷举所有的城市排列来找到最短的路径。所有的排列数是n!，但暴力法遍历这些排列的时间复杂度是O(2^n)，因为可以用递归来遍历每种组合。

    O(n!) (阶乘时间复杂度)
      旅行商问题（TSP）的暴力法：这个问题的暴力求解方式是计算所有城市排列的路径，因此时间复杂度是O(n!)，因为有n!种可能的路径需要考虑。
      全排列生成：求一个集合的所有排列。例如给定一个长度为n的数组，生成所有排列方式。生成n个元素的全排列需要O(n!)时间复杂度。

    O(n^n) (超级指数时间复杂度)
      某些组合优化算法：例如在某些情况下，组合优化问题的解空间会呈现O(n^n)的规模，特别是当每个元素的选择都依赖于前一个元素时。
      某些图论算法：一些非常复杂的图遍历问题或者最优化问题，在特定的情况下（如多维空间的枚举或分支界限法），可能会有O(n^n)的时间复杂度。