剑指offer-递归与循环
写一个函数，输入n，求Fibonacci数列的第n 项。
一般我们在求Fibonacci数列的时候，可能会使用递归，但其实递归是一个效率很低的解法。
public int Fibonacci(int n) {
if(n==1) {
return 1;
}
if(n==2) {
return 2;
}
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
例如在求F(10)的时候，F(10)=F(9)+F(8);F(9)=F(8)+F(7);F(8)=F(7)+F(6)......会发现有很多重复的运算。
改进算法是使用循环，不停地往下计算,这样计算的时间复杂度为o(n).
public static int Fibonacci(int target) {
int i=1;
int j=2;
int result=0;
if(target==1) return 1;
if(target==2) return 2;
for(int k=3;k<=target;k++) {
result=i+j;
i=j;
j=result;
}
return result;
}
有一些题目是Fibonacci数列的应用，比如下题：
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
我一开始的做法使用递归，在牛客网中测试时发现超时了。
public class Solution1 {
public static int count;
public static int JumpFloor(int target) {
jump(0,1,target);//第一步走1个台阶
jump(0,2,target);//第二步走2个台阶
return count;
}
public static void jump(int total,int previous,int target) {
if((total+previous)==target) {
count++;
return;
} else if((total+previous)<target) {
jump(total+previous,1,target);
jump(total+previous,2,target);
}
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
System.out.println(JumpFloor(4));
}
}
后来看了解题思路后，发现是Fibonnacci数列的变体。
台阶有两种跳法，一种是一次跳一级，一种是一次跳两级，而最后一跳既可以是一级，也可以是两级，假设最后一跳是一级，则此时的跳法数目等于后面剩下的F(n-1)的跳法数目，而假设最后一跳是二级，则此时的跳法数目等于后面剩下的F(n-2)的跳法数目。所以F(n)=F(n-1)+F(n-2).
public static int JumpFloor(int target) {
int i=1;
int j=2;
int result=0;
if(target==1) return 1;
if(target==2) return 2;
for(int k=3;k<=target;k++) {
result=i+j;
i=j;
j=result;
}
return result;
}
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:
f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
...
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n)
说明：
1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。
2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1
3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)
4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，
那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)
因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)
6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：
f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)
f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
可以得出：
f(n) = 2*f(n-1)
7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：
| 1 ,(n=0 )
f(n) = | 1 ,(n=1 )
我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？
假设，我们现在要用2*1的小矩形无重叠地覆盖2*8的小矩形，如下图
当第一个小矩形竖着放时，剩下2*7个矩形，这里的摆法就是2*7个小矩形的摆法，而当第一个小矩形横着放时，第二行的同一列则只能横着再放一个小矩形，而剩下了2*6个矩形，这里的摆法就是2*6个小矩形的摆法。所以可以得出结论的是F(8)=F(7)+F(6).所以这里也是Fibonacci数列的变体。
public class Solution {
public int RectCover(int target) {
int i=1;
int j=2;
int result=0;
if(target==0) return 1;
if(target==1) return 1;
if(target==2) return 2;
for(int k=3;k<=target;k++) {
result=i+j;
i=j;
j=result;
}
return result;
}
}
