2024年新高考一卷数学第19题答案解析

题目

设 \(m\) 为正整数，数列 \(a_1,a_2,...,a_{4m+2}\) 为公差不为 \(0\) 的等差数列，若从中删去两项 \(a_i,a_j(i<j)\) 后剩下的 \(4m\) 项可被分成 \(m\) 组且每组 \(4\) 个数都能构成等差数列，则称数列 \(a_1,a_2,...,a_{4m+2}\) 是 \((i,j)\) 的一可分数列。

1. 写出所有的 \((i,j)\)，\(1\le i<j\le 6\)，使数列 \(a_1,a_2,...,a_6\) 是 \((i,j)\) 的一可分数列。
2. 当 \(m\ge 3\) 时，证明：数列 \(a_1,a_2,...,a_{4m+2}\) 是 \((2,13)\) 的一可分数列。
3. 从 \(1,2,...,4m+2\) 中一次随机取两个数 \(i,j(i<j)\)，记数列 \(a_1,a_2,...,a_{4m+2}\) 是 \((i,j)\) 的一可分数列的概率为 \(P_m\)，证明：\(P_m> \frac 1 8\)。

答案与解析

首先，考虑数列 \(a_i\) 并不已知，注意到是否为等差数列和首项及公差均无关，只与项数有关，不妨设 \(a_i=i\)，不失一般性。

第一问

很明显 \(4\) 个数公差只能为 \(1\)，即四个数必须连续，故可以删掉 \(1,2\) 或 \(1,6\) 或 \(5,6\)。

答案为 \((1,2),(1,6),(5,6)\)。

第二问

容易发现对 \(i>14\) 的部分可以每连续的四个数组成一个等差数列，因此只要考虑前 \(14\) 个数即可。

去掉 \(2\) 和 \(13\) 后，还剩下 \(1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14\)，可分为 \(\{1,4,7,10\},\{3,6,9,12\},\{5,8,11,14\}\) 三组，符合可分数列的定义，故原数列为 \((2,13)\) 的一可分数列。

第三问

将 \(4m+2\) 个数写成 \(4\times (m+1)\) 的矩阵，其中四列分别记为 ABCD 组（即按 \(i\) 与 \(4\) 取模的值分成 \(1,2,3,0\)）。

容易发现如果取走的 \(i,j\) 属于 CD 组，那么较难给出一个答案的构造，且若 \(i,j\) 属于 AB 组，构造的方案数已经可以达到预期。

情况 1：设 \(i=4p+1,j=4q+2\ (p\le q)\)，即 \(i\) 属于 A 组，\(j\) 属于 B 组。

前 \(4p\) 个数每连续的 \(4\) 个数为一组，共 \(p\) 组，后 \(4q+3\) 到 \(4m+2\) 每连续的 \(4\) 个数为一组，共 \((m-q)\) 组，中间 \(i\) 到 \(j\) 每连续的 \(4\) 个数为一组，共 \((q-p)\) 组，符合可分数列的定义。

情况 2：设 \(i=4p+2,j=4q+1\ (p<q-1)\)，即 \(i\) 属于 B 组，\(j\) 属于 A 组。

注意到 \(p\) 行到 \(q\) 行的构造只与 \(q-p\ \text{mod}\ 4\) 的值有关（因为可以通过 \(4\) 行为一组的重复扩展到 \(q-p\)），分类讨论：

• 若 \(q-p\equiv 0\ (\text{mod}\ 2)\)
  中间 \(4p+1\) 到 \(4q+2\) 每隔一个数的 \(4\) 个数为一组（公差为 \(2\)，拿走的 \(i\) 空开，最后刚好没有取到 \(j\)），共 \((q-p)\) 组，剩下的数仿照情况 1，符合可分数列的定义，如下图。

• 若 \(q-p\equiv 3\ (\text{mod}\ 4)\)
  中间 \(4p+1\) 到 \(4q+2\) 每隔两个数的 \(4\) 个数为一组（公差为 \(3\)，拿走的 \(i\) 空开，最后刚好没有取到 \(j\)），共 \((q-p)\) 组，剩下的数仿照情况 1，符合可分数列的定义，如下图。
  

• 若 \(q-p\equiv 1\ (\text{mod}\ 4)\)
  中间 \(4p+1\) 到 \(4(p+2)+2\) 每隔一个数的 \(4\) 个数为一组（公差为 \(2\)，拿走的 \(i\) 空开，最后刚好没有取到 \(4(p+2)+1\)），共 \(2\) 组，此时若将 \(4(p+2)+2\) 看成 \(i\)，那么 \(q-(p+2)\equiv 3\ (\text{mod}\ 4)\) 即上一情况，同理，符合可分数列的定义。

值得注意的是若 \(p=q-1\) 无法通过简单的构造满足条件。

综上所述，可以通过构造找出 \((m+1)^2-m=m^2+m+1\) 种 \((i,j)\) 满足条件。

\[P_m=\frac {m^2+m+1}{\text{C}_{4m+2}^{2}}=\frac 1 8+\frac {\frac 1 4m+\frac 7 8}{8m^2+6m+1}>\frac 1 8 \]

证毕。

总结

今年高考压轴题并没有往年难，属于简单的构造题，思路也不难想到。

盲猜会成为下一届小六信息队选拔的题/jk