ECDSA安全漏洞剖析：从非ce泄露到密钥恢复实战

DSA基础

ECDSA是基于椭圆曲线的数字签名算法(DSA)变种。DSA包含三个核心算法：

1. 密钥生成：随机选择私钥x，计算公钥y = gˣ mod p
2. 签名生成：选择随机数k（nonce），计算r = (gᵏ mod p) mod q，s = k⁻¹(H(m) + xr) mod q
3. 签名验证：验证r = (gᴴ⁽ᵐ⁾yʳ)ˢ⁻¹ mod p mod q

ECDSA的致命弱点

非ce重用攻击

若两个签名使用相同nonce k：

k = (s₁ - s₂)⁻¹(H(m₁) - H(m₂))
x = r⁻¹(ks - H(m))

部分比特泄露攻击

• 仅泄露3个nonce比特即可破解160位DSA
• LadderLeak攻击表明：泄露<1比特即可恢复密钥
• 随机数生成器仅4比特偏差也能导致256位ECDSA被攻破

实战格攻击（100行Python）

import ecdsa, olll

# 生成含偏差nonce的签名
gen = ecdsa.NIST256p.generator
order = gen.order()
priv_key = ecdsa.ecdsa.Private_key(pub_key, secret)
nonces = [random.getrandbits(128) + (fixed_bits << 128) for _ in range(6)]
sigs = [priv_key.sign(msgs[i], nonces[i]) for i in range(6)]

# 构建格矩阵
matrix = [
    [order, 0, 0, 0],
    [0, order, 0, 0],
    [r1*s1_inv, r2*s2_inv, 2^128/order, 0],
    [m1*s1_inv, m2*s2_inv, 0, 2^128]
]

# LLL格基约简
new_matrix = olll.reduction(matrix, 0.75)

# 从格向量恢复私钥
for row in new_matrix:
    potential_key = (rns1 - r1sn)⁻¹ * (snm1 - s1mn - s1sn*k_diff)
    if verify(potential_key): 
        print("密钥恢复成功!")

防护措施

1. 首选EdDSA：内置确定性nonce生成
2. RFC 6979：确定性nonce生成标准
3. 恒定时间实现：防止侧信道泄露
4. 随机数增强：避免偏差产生

本文演示的攻击在以下场景有效：

• Nonce重用（100%成功率）
• 80比特固定nonce（需5个签名）
• 仅4比特偏差（需约4000个签名）
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