基础组合数学练习题（CF1747E）

本来不想写的。

考虑差分，我们不算最开始那一项，发现 \(a_i\) 和 \(b_i\) 不能 同时为 \(0\)。

枚举长度 \(k\)，考虑有几位不为 \(1\)， 根据插板法能得到 \({n-1\choose l-1}\)，\(m-1\choose r-1\)。

然后你发现剩下的 \(B = 0\)，必须要在 \(A \not ={0}\) 上。

就是

\(\sum\limits_{k=1}(k+1) \sum\limits_{i=1}^{k} {n-1\choose i-1} {k\choose i}\sum\limits_{j=1}^k {m-1\choose r-1} {i\choose k-j}\)

我们知道范德蒙德卷积 \(\sum\limits_{k} {r\choose k}{s\choose n-k} = {r+s\choose n}\)

$\sum\limits_{k=1}(k+1) \sum\limits_{i=1}^{k} {n-1\choose i-1} {k\choose i}\sum\limits_{j=1}^k {m+i-1\choose k-1} $

$\sum\limits_{k=1}(k+1) \sum\limits_{i=1}^{k} {n-1\choose i-1} {k\choose i} {m
+i-1\choose k-1} $

我们知道 \({r \choose k}= \frac{r}{k}{r-1 \choose k-1}\)

右边的减 \(1\) 可以去掉。

直接可以得到 \(\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1} k(k+1) \sum\limits_{i=1}^k {n\choose i}{k \choose i}{m+i \choose k} \frac{i}{m+i}\)

我们知道 ${m\choose k}{r \choose m}= {r \choose k}{r-k \choose m-k} $

所以 \(\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1} k(k+1) \sum\limits_{i=1}^k {n\choose i}{m+i\choose i}{m \choose k-i} \frac{i}{m+i}\)

我们还要用 \({r \choose k}= \frac{r}{k}{r-1 \choose k-1}\)

然后 $\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1} k(k+1) \sum\limits_{i=1}^k {n\choose i}{m+i -1\choose i-1}{m \choose k-i} $

注意到后面的显然是关于 \(i\) 的项更多，所以换一下。

$\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1} {n\choose i}{m+i -1\choose i-1} \sum\limits_{k=i} k(k+1) {m \choose k-i} $

有一个常见的技巧，我们注意到当且仅当 \(0 \leq k-i \leq m\) 才有意义，把上界替换掉。

$\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1} {n\choose i}{m+i -1\choose i-1} \sum\limits_{k=i}^{m+i} k(k+1) {m \choose k-i} $

不妨令 \(k=k-i\)，这个应该很自然。

$\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1} {n\choose i}{m+i -1\choose i-1} \sum\limits_{k=0}^{m} (k+i)(k+i+1) {m \choose i} $

我们不妨拆开 \(\sum\limits_{k=0}^{m} (k+i)(k+i+1) {m \choose k}\)

可以的得到 \(\left(\sum\limits_{k=0}^m k^2 {m \choose k} \right) + \left((2i+1)\sum\limits_{k=0}^m k {m \choose k}\right) + (i^2+i) \left(\sum\limits_{k=0}^m {m \choose k}\right)\)

中间是经典恒等式，直接写下来就是 \(m(m+1)2^{m-2} + (2i+1) m 2^{m-1} + (i^2+i) 2^m\)

回带回去得到 \(\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1} {n\choose i}{m+i -1\choose i-1} (m(m+1)2^{m-2} + (2i+1) m 2^{m-1} + (i^2+i) 2^m)\)

然后就做完了！！！预处理 \(2^m\) 可以做到单次询问线性。