旋转向量旋转矩阵求导
由旋转引起的平面角速度
角速度：
弧长：
线速度：
（因为求速度，所以ΔS是极小值，）
由旋转引起的空间角速度
已知角度度向量：
u是单位向量
显然，又有：
显然，又有半径r与P向量的关系：
又根据叉积的定义，有：
因此：
结论：空间点的线速度向量，是角速度向量与该点向量叉积。
旋转矩阵&指数矩阵
一定要有一个直觉， f ' (x) = A f (x) ， 那么一定和e有关。
那么，有没有可能：
R(t) 正是t时刻的旋转矩阵， 将一个向量p(0)转为p(t)
因为：
因此得证
又 ω 是角速度向量，那么：
对其进行积分，区间是[t,t+Δt]，就可以得到：
从而，证明了：
旋转矩阵的导数
已知绕单位向量u旋转θ，与旋转矩阵R，有如下关系：
μx 是单位向量μ的对应的反对称矩阵。
所以，总有一个旋转向量，与R有函数关系
因为R是随着时间变化而变化，令：
由旋转矩阵的性质，可知：
两边同时求导：
令：
那么，上面公式为：
因此：S是反对称矩阵
那么：
结论：旋转矩阵导数 = 反对称矩阵S * 旋转矩阵本身
已知：
对p0求导：
对p0求导，实质就是求p0处的速度：
因此，有：
所以，S就是角速度向量ω的反对称矩阵。
结论：
结论：R的导数 = 角速度向量的反对称矩阵 * R本身
旋转矩阵的导数2
根据上面的结论，R‘ = ω X R
R = [ x , y ,z ] 三角列向量，那么
R‘ 就是三个单位正交向量的线速度
向量 ω00,2 表示，以0系为基准（左上角），2系相对于0系的角速度向量。
其中：
代入上式：
又，反对称矩阵有如下性质：
因此，上式变为：
代入：
由此，可以得到两个结论：
1. 角速度向量可以叠加，但是要以统一的坐标系作为参考。
2. 进行推广，有如下链式法则，可以看做 ：
p点相对于i - 1 系的角速度 = i系原点相对于 i - 1 系的角速度 + p 点相对于 i系的角速度
以此图为参考，已知：
p0 为P点在0系下的向量
p1 为P点在1系下的向量
o 为1系原点在0系下的向量
那么，他们有如下关系：
假设P点，是与1系固连的，那么P点在0系下的速度 = 1系旋转产生的速度 + 1系移动产生的速度
r 就是 P点在0系下的向量
机械臂的雅可比矩阵
机械臂旋转产生的总角速度 ，根据：
可知，末端关节，由旋转引起的角速度向量为：
（机械臂总是绕Z轴进行旋转）
令：
如果在第n个关机不是转动关机，那么角速度大小为0
总线速度
如果第n个关节，是想对于n-1个关节，沿着zn-1方向移动的速度为d‘n , 那么n关节处，产生的速度为：
由沿着z轴移动产生的总速度：
如果第n个关节，是相对于于n-1个关节，沿着zn-1方向旋转，其角速度为θn，那么n关节处，产生的速度为：
那么，由n - 1关节转动，对n关节产生的速度为：
其中：
由运动正算得到的：
由沿着z轴旋转产生的总速度：
总的线速度：
所以，写成矩阵形式：
特别注意：通常一个运动就是一个关节，同一个关机，d和θ其中一个要为0。
联立起来：
雅可比矩阵就是 6 * 2n那个阵。
