Burnside引理
设 \(A\) 和 \(B\) 为有限集合， \(X=B^A\) 表示所有从 \(B\) 到 \(A\) 的映射。 \(G\) 是 \(A\) 上的置换群， \(X/G\) 表示 \(G\) 作用在 \(X\) 上产生的所有等价类的集合（若 \(X\) 中的两个映射经过 \(G\) 中的置换作用后相等，则他们在同一等价类中），则
\(|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|X^g|\) 其中 \(X^g=\{x|x\in X,g(x)=x\}\)
Polya定理
设 \(A\) 和 \(B\) 为有限集合， \(X=B^A\) 表示所有从 \(B\) 到 \(A\) 的映射。 \(G\) 是 \(A\) 上的置换群， \(X/G\) 表示 \(G\) 作用在 \(X\) 上产生的所有等价类的集合（若 \(X\) 中的两个映射经过 \(G\) 中的置换作用后相等，则他们在同一等价类中），则
\(|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|B|^{c(g)}\) 其中 \(c(g)\) 表示置换 \(g\) 能拆分成的不相交的循环置换的数量。
立方体染色问题
用3种不同的颜色给立方体染色，求本质不同的染色方案数（经过翻转后相同的两种方案视为同一种）。
\(A\) ：立方体6个面的集合。
\(B\) ：3种不同颜色的集合。
\(X\) ：所有的不考虑本质相同的染色方案的集合。每个面可以有3种不同的颜色，\(|X|\) 为 \(3^6\) 种。
\(G\) ：翻转操作构成的置换群。
\(X/G\) ：本质不同的染色方案的集合。
\(X^g\) ：对于一个特定的翻转操作 \(g\) ，\(X\) 中经过 \(g\) 的翻转后保持不变的染色方案的集合。
把立方体的初始状态的上下前后左右6个面分别标记为 \(1,2,3,4,5,6\) 号面。
\(1\) 号面朝上， \(3\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 4\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 5\\ 5\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6\\ 6\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=6\]
\(1\) 号面朝上， \(4\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 4 & 3 & 6 & 5 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 6\\ 6 & 5\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=4\]
\(1\) 号面朝上， \(5\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 5 & 6 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 6\\ 5 & 6 & 4 & 3\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
\(1\) 号面朝上， \(6\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 6 & 5 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 6\\ 6 & 5 & 3 & 4\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
\(2\) 号面朝上， \(3\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 6 & 5 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 4\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 5 & 6\\ 6 & 5\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=4\]
\(2\) 号面朝上， \(4\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 3 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 3\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 5\\ 5\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6\\ 6\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=4\]
\(2\) 号面朝上， \(5\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 5 & 6 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 & 5\\ 5 & 3\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 4 & 6\\ 6 & 4\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
\(2\) 号面朝上， \(6\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 6 & 5 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 & 6\\ 6 & 3\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 5 & 4\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
\(3\) 号面朝上， \(1\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 1 & 2 & 6 & 5 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 5 & 6\\ 6 & 5\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
\(3\) 号面朝上， \(2\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 2 & 1 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 5\\ 5\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6\\ 6\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
\(3\) 号面朝上， \(5\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 3 & 5 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\ 4 & 6 & 2\\ \end{pmatrix}\\
c(g)=2\]
\(3\) 号面朝上， \(6\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 6 & 5 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 6\\ 3 & 6 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 5\\ 4 & 5 & 2\\ \end{pmatrix}\\
c(g)=2\]
\(4\) 号面朝上， \(1\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 1 & 2 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 4 & 3 & 1 & 2\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 5\\ 5\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6\\ 6\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
\(4\) 号面朝上， \(2\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 6 & 5 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 4 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & 2\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 5 & 6\\ 6 & 5\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
\(4\) 号面朝上， \(5\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 5 & 6 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 6\\ 4 & 6 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\ 3 & 5 & 2\\ \end{pmatrix}\\
c(g)=2\]
\(4\) 号面朝上， \(6\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 6 & 5 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 5\\ 4 & 5 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 6\\ 3 & 6 & 2\\ \end{pmatrix}\\
c(g)=2\]
\(5\) 号面朝上， \(1\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 5 & 1 & 3\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\ 6 & 2 & 4\\ \end{pmatrix}\\
c(g)=2\]
\(5\) 号面朝上， \(2\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 2 & 1 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 5\\ 5 & 1 & 4\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 6\\ 6 & 2 & 3\\ \end{pmatrix}\\
c(g)=2\]
\(5\) 号面朝上， \(3\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 3 & 4 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 6\\ 5 & 6 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 4\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
\(5\) 号面朝上， \(4\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 4 & 3 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 6\\ 5 & 6 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 3\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
\(6\) 号面朝上， \(1\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 1 & 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 6\\ 6 & 1 & 3\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 5\\ 5 & 2 & 4\\ \end{pmatrix}\\
c(g)=2\]
\(6\) 号面朝上， \(2\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 6\\ 6 & 1 & 4\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\ 5 & 2 & 3\\ \end{pmatrix}\\
c(g)=2\]
\(6\) 号面朝上， \(3\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 3 & 4 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 6\\ 6 & 5 & 1 & 2\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 4\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
\(6\) 号面朝上， \(4\) 号面朝前
\[g=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 1 & 6\\ 6 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 5 & 2\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & 3\\ \end{pmatrix} \\
c(g)=3\]
Polya定理
\[\begin{align}\nonumber|X/G|&=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}|B|^{c(g)}\\
\nonumber &=\frac{1}{24}(8\cdot 3^2+12\cdot 3^3+ 3\cdot 3^4+ 1\cdot 3^6)\\
\nonumber &= 57
\end{align}\]
验证
[洛谷P4980 Pólya 定理]
\(n\) 个环染最多 \(m\) 种颜色，求本质不同的染色方案数量（绕轴旋转之后不同就是不同）。
题解：绕轴旋转会把 \(n\) 恰好断成若干个相等的置换。绕轴旋转 \(x\) 次，若 \(gcd(i,n)=g\) ，则把原本的长度为 \(n\) 的置换断成了 \(g\) 个长度为 \(\frac{n}{g}\) 的置换。
这样又引出一个新问题：
\[\begin{align}\nonumber |X/G|&=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} m^{gcd(i,n)}\\
\nonumber &=\frac{1}{n}\sum\limits_{g|n} m^g \sum\limits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=g]\\
\end{align}\]
子问题：给定一个 \(d,d|n\) ，求 \(\sum\limits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=d]\) 的值。
\[\sum\limits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=d]=\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1] \varphi(\frac{n}{d})
\]
\[\begin{align}\nonumber |X/G|&=\frac{1}{n}\sum\limits_{g|n} m^g \varphi(\frac{n}{g})\\
\end{align}\]
[CF1065E Side Transmutation]
添加 \(b_0=0\) ，观察得到每一段区间 \([b_{i-1}+1,b_i]\) 都可以单独抽出来和对位交换，总共 \(m\) 种单独的置换，他们构成了恰好 \(m\) 段可独立考虑的置换的区间，所以总共有 \(2^m\) 种置换。
单独考虑一个置换选择或者不选择，若这个区间长度为 \(l_i\) ，那么假如不选择这个区间，这个区间及其对位都可以自由染色，否则会减少 \(l_i\) 中颜色（对位要相同染色，只计算左边），那么答案就是 \(\frac{1}{2^m}A^n\prod\limits_{i=1}^{m}(1+\frac{1}{A^{l_i}})\)
（其实每一种操作是独立的操作的时候，用Polya定理感觉有点大材小用，Polya定理可能还是解决正n边形、正n面体等翻转旋转等情形非常复杂但是总的方法种类不多的情形）
