二至济南--动态规划

\(update: 2025/7/24\)

说实话,\(DP\)要是考得难就真不如学暴力

很想爆搜+记忆化,不同的是\(DP\)采用用记忆过的已知来"推理"出未知

背包\(DP\)

最简单的一种\(DP\),但有极多的变形
每个物品有价值和一些限制,问在满足限制的情况下的最大(有的题目问最小)价值

\(01\)背包

最简单的\(DP\),对于每个物品只有取与不取两种,每个物品相对独立

例题不补

完全背包

\(01\)背包的加强,每个物品可以取任意次,每个物品相对独立

例题不补

多重背包

物品只能取有限次,每个物品相对独立,通常用二进制拆分

例题不补

二进制拆分

多用于多重背包,将其中多个物品拆分成\(1,2,4,8,...\)倍的物品,直到拆不了剩下一堆,可以证明这么拆可以表示其中的所有情况

分组背包

物品不再相对独立,部分物品位于一个集合,选取其中的物品有一定限制

例题不补

回退背包

删除背包中的一个元素
反悔背包

在背包\(DP\)中,放入顺序是不必要的,我们在求得所有物品都在的情况后,再枚举删除元素来做到"回退"操作

例题: P4141 消失之物

区间\(DP\)

将一段区间分成几段(一般是两段),然后枚举断点转移

树形\(DP\)

在树上的\(DP\),从叶子到根,用自己的儿子更新自己

状压\(DP\)

一般用于\(n\le 20\)但是\(2^n\)级的枚举

枚举每一种情况,然后转移

计数\(DP\)(待补)

\(DP\)的优化

斜率优化(不会)(不补)