群论

群论

群论基础

群的定义

称集合 \(S\not = \emptyset\) 和 \(S\) 上的二元运算 \(*\) 构成的代数结构 \(G(S,*)\) 是群满足以下性质：

• 封闭性：\(\forall a,b \in S,a*b\in S\)

• 结合律：\(\forall a,b,c\in S,(a*b)*c=a*(b*c)\)

• \(\exists e\in S,\forall a\in S,e*a=a*e=a\)

• \(\forall a\in S,\exists b\in S,a*b=b*a=e\)

更多关于群：

• 阿贝尔群（交换群）：满足交换律的群。
• 半群：只满足结合律和封闭性
• 有限群：\(S\) 集合大小有限（称集合大小为群的阶，记作 \(|G|\)）。

子群相关

• 子群：对于 \(G(S,*)\) 若 \(T\subseteq S\)，且 \(H(T,*)\) 是群，称 \(H\) 为 \(G\) 的子群，记作 \(H\leq G\)。
• 生成子群：对于集合 \(S\) 的一个非空子集 \(T\)，\(G\) 的所有 \(T\subseteq T'\) 的子群 \(H(T',*)\) 的交 \(G'\) 称为 \(T\) 的生成子群，记作 \(\left \langle T \right \rangle\)。
• 循环群：仅由一个元素生成的群，例如 \((\mathbb{Z},+)\)。

陪集及其性质

对于群 \(G\) 的一个子群 \(H\)：

• 对于 \(a\in G\)，定义 \(H\) 的一个左陪集为 \(aH=\{a*h|h\in H\}\)。

• 对于 \(a\in G\)，定义 \(H\) 的一个右陪集为 \(Ha=\{h*a|h\in H\}\)。

陪集有性质：

• \(\forall a\in G,|H|=|Ha|\)

  构造映射函数 \(f:H\to Ha\) 为 \(f(h)=ha,h\in H\)。

  • \(f\) 是单射：

    若 \(\exists h_1,h_2\in H,f(h_1)=f(h_2)\)，则 \(h_1a=h_2a\)，根据群存在逆元，所以有 \(h_1=h_2\) 矛盾。所以 \(f\) 是单射。

  • \(f\) 是满射：

    \(\forall y\in Ha,\exists h\in H,y=ha\)，所以 \(f\) 是满射。

  所以 \(f\) 为双射，性质成立。

• \(\forall a\in G,a\in Ha\)

  \(H\) 存在单位元 \(e\in H\)，所以 \(ea=a\in Ha\)。

• \(Ha=H \Leftrightarrow a\in H\)

  • 充分性 若 \(Ha=H\)：
    单位元 \(e\in H,ea=a\in Ha\)，又因为 \(Ha=H\)，所以 \(a\in H\)。

  • 必要性 若 \(a\in H\)：

    • 任意 \(ha\in Ha\)，因为 \(a\in H,h\in H\)，根据封闭性 \(ha\in H\)，所以 \(Ha\subseteq H\)。
    • 因为 \(a\in H\)，所以 \(a^{-1}\in H\)。\(\forall h\in H,ha^{-1}\in H\)，所以 \(h=(ha^{-1})a\in Ha\)，所以 \(H\subseteq Ha\)。

    所以 \(H=Ha\)。

• \(Ha=Hb\Leftrightarrow ab^{-1}\in H\)

  • 充分性 若 \(Ha=Hb\)：
    \(a=ea\in Ha\)，所以 \(a\in Hb\)。因此存在 \(h\in H,a=hb\)，即 \(ab^{-1}=h\in H\)。

  • 必要性 若 \(ab^{-1}\in H\)：
    设 \(ab^{-1}=h\in H\)，那么有 \(a=hb\) 和 \(b=h^{-1}a\)。

    • \(\forall za\in Ha,za=zhb=(zh)b\in Hb\)。
    • \(\forall zb\in Hb,zb=zh^{-1}a=(zh^{-1})a\in Ha\)。

    所以 \(Ha=Hb\)。

• \(Ha\cap Hb\not =\emptyset \to Ha=Hb\)

  若 \(Ha\cap Hb\not = \emptyset\) 则 \(\exists x\in Ha\cap Hb\)。
  即存在 \(h_1,h_2\in H,x=h_1a\in Ha,x=h_2b\in Hb\)。
  所以 \(h_1a=h_2b\to ab^{-1}=h_1^{-1}h_2\in H\)，根据上一条 \(ab^{-1}\in H\)，所以 \(Ha=Hb\)。

拉格朗日定理

若 \(H\leq G\)，有 \(|G|=|H|\times [G:H]\)。
\([G:H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 不同的右陪集（或左陪集）数量。

由于 \(H\leq G\)，\(H\) 在 \(G\) 中的右陪集有以下性质：

• 任意两个陪集 \(Ha,Hb\) 满足要不相同要么不交。

  根据上述陪集性质的最后一条如果有交那就肯定相同。

• 所有陪集并集等于 \(G\)，即 \(G=\bigcup_{a\in G} Ha\)。

  \(H\) 中存在单位元 \(e\)，所以 \(\forall g\in G,g=eg\in Hg\)，即每个 \(g\in G\) 至少属于一个陪集。
  因为 \(H\leq G\) 且 \(a\in G\)，所以 \(Ha\subseteq G\)，所以 \(\bigcup Ha\subseteq G\)。
  所以 \(G=\bigcup Ha\)。

• 任意 \(Ha\) 满足 \(|Ha|=|H|\)。

  上述性质第一条有 \(a\in G\to |Ha|=|H|\)。

即 \(G\) 可以分解为若干大小相同的不交陪集的并集，同时结论得证。

置换

置换与置换群

有限集合到自身的双射成为置换，不可重集 \(S=\{a_i\}\) 上的置换可表示为：

\[f=\begin{pmatrix}a_1,&a_2,&\cdots,&a_n\\a_{p_1},&a_{p_2},&\cdots,&a_{p_n}\end{pmatrix} \]

其中 \(p\) 是一个排列。

定义两个置换 \(f,g\) 的乘法 \(f*g=f(g(S))\)，即 \(S\) 先经 \(g\) 置换在经 \(f\) 置换。

显然对于集合 \(S\) 的所有置换和置换乘法 \((S,*)\) 构成一个群。（其满足封闭性等群的所有性质）

• 通常将 \(\{1,2,\cdots ,n\}\) 上的所有置换构成的群称为 \(n\) 元对称群 \(S_n\)，这个群的任意子群称为置换群。

循环置换（轮换）

轮换是一种特殊的置换，即将每个数字循环偏移一位，可以写作：

\[f=\begin{pmatrix}a_1,&a_2,&\cdots,&a_{n-1},&a_n\\a_2,&a_3,&\cdots,&a_n,&a_1\end{pmatrix} \]

每个置换都可以分解为若干不交轮换的乘积。例如：

\[\begin{pmatrix}1 &2&3&4&5&6\\2&6&5&4&3&1\end{pmatrix}=(1,2,6)*(3,5) \]

也就是对应排列的若干置换环。

轨道-稳定子定理

设 \(G\) 是一个作用在集合 \(X\) 上的置换群。对于任意 \(x\in X\) 有：

\[|G|=|G(x)|\times |G^x| \]

\(G(x)=\{g*x|g\in G\}\) 称作 \(x\) 的轨道。（\(x\) 经作用能到达的所有位置）

\(G^x=\{g\in G|g*x=x\}\) 称作 \(x\) 的稳定子。（满足作用前后 \(x\) 不变）

根据拉格朗日定理，有 \(|G(x)|=[G:G_x]=\frac{|G|}{|G_x|}\)。即证 \(|G(x)|=[G:G_x]\) 即可。

定义从 \(gG_x\) 到 \(G(x)\) 的映射 \(\varphi(gG_x)=g*x\)。

• \(\varphi\) 是良定义的，即如果 \(fG_x=gG_x\)，那么 \(f*x=g*x\)。

  如果 \(fG_x=gG_x\)，那么存在 \(h\in G_x\)，使得 \(f*h=g\)。所以 \(g*x=f*h*x=f*x\)。（因为 \(h\in G_x\)，所以 \(h*x=x\)）

• \(\varphi\) 是满射，即对于任意 \(y\in G(x)\)，存在 \(\varphi(gG_x)=y\)。

  因为 \(y\in G(x)\)，所以存在 \(g\in G\) 使得 \(g*x=y\)，那么 \(\varphi(gG_x)=g*x=y\)。

• \(\varphi\) 是单射，即对于任意不同的 \(gG_x,fG_x\)，\(\varphi(gG_x)\) 和 \(\varphi(fG_x)\) 也不同。

  假设 \(\varphi(gG_x)=\varphi(fG_x)\)，有 \(g*x=f*x\)。那么 \(g^{-1}f*x=x\)，所以 \(g^{-1}f\in G_x\) 即 \(f\in gG_x\)。所以 \(gG_x=fG_x\)。

综上，\(\varphi\) 是双射，所以 \(|G(x)|=[G:G_x]\)。

Burnside 引理

对于集合 \(X\) 和作用在其上的置换群 \(G\)，若 \(X\) 中的两个元素经过 \(G\) 的某些置换后可以相等，则称两个元素在一个等价类中。

定义 \(X/G\) 表示 \(X\) 在 \(G\) 的置换下产生的所有等价类集合。（其实就是所有的轨道集合，亦或是“本质不同”的元素）

有 Burnside 引理：

\[|X/G|=\frac 1 {|G|}\sum_{g\in G} |X^g| \]

其中 \(X^g=\{x\in X|g*x=x\}\)，称作是 \(X\) 在置换 \(g\) 下的不动点集合。

证明可以考虑用轨道-稳定子定理：

首先对于每个 \(x\) 求不动点累加和对于每个 \(g\) 求稳定子累加是一样的，都是求 \(g*x=x\) 的 \((g,x)\) 对个数。

\[\begin{align}\frac 1 {|G|} \sum_{g\in G} |X^g|&=\frac 1 {|G|}\sum_{x\in X}|G^x|\\&=\sum_{x\in X}\frac 1 {|G(x)|}\\&=\sum_{S\in X/G}\sum_{x\in S}\frac 1 {|G(x)|}\\&=\sum_{S\in X/G}\sum_{x\in S}\frac 1 {|S|}\\&=|X/G|\\\end{align} \]

Polya 定理

定义 \(A,B\) 是两个有限集合，\(X=B^A\) 表示所有 \(A,B\) 的映射，\(G\) 是作用在 \(A\) 上的一个置换群。

如果觉得定义很抽象你可以理解为，\(X\) 就是有 \(|A|\) 个数，每个数都有 \(|B|\) 种可选颜色，要给每个数染色，\(G\) 就是会把 \(|A|\) 个数的位置置换。\(X/G\) 就是“本质不同”的染色方案数，两个方案“本质不同”定义为，无论将一个方案的数的位置做任意 \(G\) 中的置换都得不到另一个方案。

有 Polya 定理内容是：

\[|X/G|=\frac 1 {|G|} \sum_{g\in G}|B|^{c(g)} \]

其中 \(c(g)\) 表示置换 \(g\) 拆分出的轮换数量。

证明考虑根据 Burnside 引理，只需证 \(|B|^{c(g)} =|X^g|\) 即可。

对于一个确定置换 \(g\)，如果 \(x\in X\) 是不动点，就是说 \(x\) 中 \(g\) 的每一个轮换上的所有数必须都填一样的颜色，不同的轮换之间互不干涉。

每个轮换有 \(|B|\) 中选择，\(g\) 有 \(c(g)\) 个轮换，所以有 \(|B|^{c(g)}=|X^g|\)。

这时聪明的你肯定发现 Polya 定理就是 Burnside 引理的特殊形式。Polya 必须要求 \(X=B^A\) 才能使用，如果 \(X\subset B^A\) 即在每个数染色的基础上加一些限制，Polya 就不能用了，但是 Burnside 仍然可以。

群论例题题单