数论(笔记)

参考课件

1. 同余

1.1 同乘性

\({\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}\)
\({\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}\)
则 \({\displaystyle a*c\equiv b*d{\pmod {m}}}\)

证明

\({a = k_1m+x}\) ; \({b = k_2m+x}\)
\({c = k_3m+y}\) ; \({d = k_4m+y}\)
\({a*c = k_1k_3m^2+k_1my+k_3mx+x*y}\) ; \({b*d = k_2k_4m^2+k_2my+k_4mx+y*x}\)
\({a*c {\pmod m} = x*y}\) ; \({b*d {\pmod m} = x*y}\)
\({\displaystyle a*c\equiv b*d {\pmod m}}\)

1.2 同除性

\({\displaystyle a*p\equiv b*p{\pmod {m}}}\)
当且仅当 \(p\) 与 \(m\) 互质时 , \({\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}\)一定成立

证明

因为

\({\displaystyle a*p\equiv b*p{\pmod {m}}}\)

所以

\((a-b)*x*p=m*y\) \((x,y \in N^*)\)

所以

$(a-b)*x = m * y/p $ \((x,y \in N^*)\)

若 \(m\) 与 \(p\) 互质, 则 \(y\) 必整除 \(p\) ,满足系数为整数. 否则,由于 \(p\) 与\(m\) 有公因数,且这个公因数一定不是 \(y\) 的因数, 所以 \(y/p\) 不是整数,所以不成立.

2. 欧拉函数

欧拉函数定义：\(\varphi(n)\) 表示不大于 \(n\) 的正整数中与 \(n\) 互质的数的个数（包括 \(1\)）。

\(\varphi(n) = n × \displaystyle \prod_{i=1}^{k}({1 \over {1-p_i}})\)

其中 \(p\) 为 \(n\) 的所有质因子。

2.1 求 \(n\) 的 \(\varphi\)

int exgcd(int k)
{
	int m=int(sqrt(k+0.5));
	int ans=k;
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		if(k%i==0)
		{
			ans=ans/i*(i-1);
			while(k%i==0) k/=i;
		}
	}
	if(k>1) ans=ans/k*(k-1);
	return ans;
}

2.2 求 \(1--n\) 的 \(\varphi\)

3. 扩展欧几里得及求通解

求通解

int exgcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1; y=0; return a;
	}
	int res=exgcd(b,a%b),t=x;
	x=y; y=t-(a/b)*y;
	return res;
}

4. 求逆元

定义

4.1 费马小定理求逆元

4.2 欧拉定理求逆元

4.3 扩展欧几里得求逆元

4.4 线性求逆元

4.5 求阶乘逆元

\[ny1[i]=(LL)(p-p/i)*ny1[p \% i] \% p; \]

\[ny2[i]=(LL)(ny2[i-1]*ny1[i] \% p; \]