收获速记 0319
关于杨表
https://mna.wang/contest/2433/problem/3
杨表。
记录一下式子吧，
h(i,j) 是勾长
标准杨表是 n!/prod(h(i,j))
半标准是 prod(n+j-i)/prod(h(i,j))（行内非严格递增，列内严格递增，所有数在 [1,n] 之间）
这个题列也不严格递增，我们对列 +=i 即可转化为严格递增。这题还要求max 为一个定值，我们使用 [x=max] = [x<=max] - [x<=max-1] 即可。
关于“区间询问差最小的两个数”
https://www.luogu.com.cn/problem/P9058
这个问题实质上强于区间询问差最小的两个数。
我们考虑区间询问差最小的两个数怎么做。我们考虑支配对。我们往前面更大的数看，发现遇到第一个数之后，后面每个数都应当在这两数中点之下，所以至多迭代 logV 轮，每轮我们可以用数据结构 logn 的找下一个，把这 nlogV 个后继扒出来后扫描线即可 nlognlogV。
但是我们考虑那个树上问题就没有这么简单。我们尝试先点分治，我们把 dis(i,j) 放缩成 dis(i,g)+dis(g,j)，两数之和这个我们发现是可以单调栈的，也就是至多 O(n) 的支配对，结合点分治，也就是 nlogn 个支配对。拉出来扫描线可以做到 nlog^2n。
这个问题真正厉害的地方在于，树上更难了，我们反而做到了更优，这个 |x-y| <= |x-c|+|y-c| 的技术过于强大。
https://www.cnblogs.com/pp-orange/p/18295086 和这个中的问题殊途同归。
我们类似的，还有 |x|=max(x,-x)，x-y<=x^y<=x+y。
关于割空间
https://www.luogu.com.cn/problem/U545221
这个是一个割空间的成果。魔改割空间。
对正交补的理解更为深刻了，正交补互为方程，我们不仅可以利用这个作为折半技术，还可以用来作为图论割空间和环空间的互转技术。实质上是，环空间相对容易，我们判定割空间也使用环空间作为方程去点积。
https://darkbzoj.cc/problem/3569 这是连通性板子。
双极定向
学习了双极定向
https://www.luogu.com.cn/problem/CF1916F
这是双击定向板子，我写了。代码可参考。
关于对偶图
https://www.luogu.com.cn/problem/CF1192A
核心在于，平面图的对偶性质，联通性亦可对偶，把原集的分裂转化成补集的合并。
https://qoj.ac/problem/2030
这个题也是利用了网格图的平面图性质
https://mna.wang/contest/2433/problem/2
关于数学
https://uoj.ac/problem/514
首先是一个 poly 复杂度的做法，我们发现可以把这个问题强行写成一个带 e^x 又有 x^a 的 EGF，这个函数非常不平凡，我们对其展开，试图向正解推进一步。
我们考虑把 e(ax)xb 这个一项单独拿出来计算，发现是容易的！于是我们 n^4 或者 n^3log 展开即可。
我们发现 e^x 截取前若干项，设为 f(x)，此时 f(x) 一个非常好的性质是 f'(x) = f(x)-(x^k/k!)，我们要多次卷积此类函数可以求导法比较。所以这个题我们就做到了 O(n^3)
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/CF2075F
有一个非常阴间的决策单调性做法，强行摊还 O(1) 移动指针；或者我们 SMAWK，logn主席树查矩形点数，同样可以做到 nlogn。
但是有一个非常简单的做法。
利用了单调栈的线性性质，这是将单调栈和平面信息区分开的关键。（还有一些例题的，这个非常之经典和强大）我们把前后缀单调栈拉出来，前缀拉一个点和后缀拉一个点是一个二维信息（x,y），放到平面上考察，中间的点可以贡献这个平面的一个矩形，扫描线，做完了！
yyc's trick
https://www.luogu.com.cn/problem/P6684
大致是 pyc trick 和 yyc trick 结合，
待整理。
更强的插值问题（特征根相关）
https://darkbzoj.cc/problem/3157
我们发现 特征根 只有两个，而且非 1 特征根指数只有 1。
关于特征根，我们实际上发现平日的拉格朗日插值我们都是尝试在对所有根都是 1 的情况处理，实际上拉格朗日插值的次数就是那个这个为 1 的根的次数。
如果只有一种根的话，不管多少个做法都是一样的，我们只要把那个根换成 1 然后插值再换回来就行了。
我们考虑有双根（有一个根只有一个）的情况转化成单根。
我们不妨把那个特殊根前的系数待定系数一下（cr^i，r是知道的，待定系数的是c），把系数设出来，然后插下一个对比一下，把系数解出来。然后插值即可。
关于欧拉定理更紧的上界
我们对于一个数 \(a\)，我们试图找到一个指数 \(r\)，使得所有 \(a\) 的剩余系里和 \(a\) 互质的数 \(x\) 有 \(x^r \bmod a = 1\)，这有一个显然的上界是 \(\varphi(x)\)，实质上这个对于素数是严格的（考虑原根即可），对于合数有这样的分析：
我们把合数分成若干 \(p^a\)，对于每一部分使用欧拉定理，也就是 \((p-1)p^{a-1}\)，然后再取 lcm 合并。（原来的欧拉定理采取的做法是直接全乘起来）
这个对于效率也没有什么优化，主要是一些证明工作中我们需要更紧的上界。
浙公网安备 33010602011771号