k 卷积背包要 mod 多少？

问题是每个物品有 \(0,1,2,...,k-1\) k 种重量，对应 \(w_0,w_1...w_{k-1}\) \(k\) 种价值，有 若干个物品，求每个重量下的最大价值。（\(k\) 很小）

https://www.cnblogs.com/pp-orange/p/18764088 这是 3 卷积背包。

实质上这个方法还可以扩展到 \(k\) 卷积背包，对于 \(k+1\) 卷积背包我们只要 \(\bmod lcm(1,2,...,k)\) 就行了。

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我们先申明两个引理：

引理1：对于 \(a\ge m\) 个非零的 \(\bmod m\) 下的数，必有一个子集的和 \(\mod m\) 为 \(0\)。

（过于显然）

引理2：对于任意 \(a\) 个非零的 \(\bmod m\) 下的数，且和为 \(0\)，必可以分成若干集合，每个子集的和 \(\mod m\) 为 \(0\)，且每个集合大小 \(\le m\)。

（使用引理 1 归纳即可证明）

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对于原问题，我们尝试使用加强归纳法。把命题加强成：对于集合 \(S\),\(\forall x\in S,x\mid M\) 且 \(\sum x = M\times 2\)，则一定存在一个子集的和为 \(M\)。

当 \(M=1\) 时显然正确，如果对于 \(M<a\) 命题成立，考虑 \(M=a\) 时。

不妨取 \(a\) 的一个素因子 \(p\)，记 \(a=bp\)，所以有 \(b<a\)，我们如果能将 \(S\) 中的元素分为若干组，每组和 \(\le a\) 且是 \(p\) 的倍数，那么每组只保留它的 \(\frac{sum}{p}\) ，就可以归纳到 \(M=b\) 的子问题。

我们对于所有 \(x\in S\) 分类讨论：

）\(x\mid p\)，\(x\) 单独分一组
）否则，我们有 \(x\le b\)，我们一定可以找到若干组 \(\le p\) 大小的子集和是 \(p\) 的倍数（引理2）

于是我们就证明了！

同时我们另一方面，\(lcm(1,2,...,k)\) 是满足这个满足每个同余类是凸的最小值。因为对于一个 \(m\)，如果存在 \(x\) 不整除 \(m\)，我们放 \(\left \lfloor \frac{m}{x} \right \rfloor\) 个 \(x\)，然后放一个 \(m\bmod x\) 就是反例。

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upd : 0312 疑似伪证，目前最好的界是 k! 级别的。