再探模二意义下杨辉三角

从 https://codeforces.com/gym/101380/problem/C 谈起

关于本题：

1、题意：构造一个 \(n\times n\) 的 01 矩阵，让他的每一个顶着上顶边的子方阵的行列式模二意义下不为 0。

2、做法：

我们手搓第一行和第二行是唯一的，然后我们可以想到构造主对角线下的全部都为 0 ，这提示我们是否和三角分形有关，于是猜想杨辉三角满足性质，实际上是对的，附上代码。

点击查看代码

bool f[MAX][MAX];
signed main(){
	freopen("determinant.in","r",stdin);
	freopen("determinant.out","w",stdout);
	f[1][0] = 1;
	int n = rd();
	repp(i,1,n){
		repp(j,1,n){
			f[i][j] = f[i-1][j]^f[i][j-1];
		}
	}
	repp(i,1,n){
		repp(j,1,n){
			cout<<f[i][j]<<' ';
		}cout<<endl;
	}cout<<endl;
	return 0;
}

正确性证明和更多扩展

证明
首先我们考虑左上角为 (1,1) 的方阵，事实上，其它方阵是可以归约到这种情况的，等会会说。

我们采取分类讨论+数学归纳法。（懒了，不想搞图片，随便记录一下大致思路）

首先我们解决一个较为简单的情况：n = 2^k。此时我们利用子结构容易证明（而且我们这里只能使用行变换，因为后面有需要）。

然后我们解决更一般情况：首先我们找到最小的 k 满足 2^k>n ，此时我们对前 \(2^{k-1}\) 用一般的消元方式去消元即可，此时会把这几行的后面的多余部分同时处理成比较友好的样子。用后面的，列变换一下消前面的，就把左下角那个子方阵独立出来，归纳到了更小的情况。于是我们完成了证明。

接下来说明为什么坐上角解决就足够了。

因为我们有 \(f_{i,j} = f_{i-1,j}+f_{i,j-1}\) ，所以我们有 \(f_{i,j} +f_{i-1,j} = f_{i,j-1}\)（这里是模二意义下加法），于是我们行之间差分，就相当于在平移我们的那个子矩阵，于是我们把问题都归约到了左上角为 (1,1) 的情况。

扩展
关于这题，我们还可以增量法构造，增量法甚至可以说明总共的构造方案是恰好 \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) 种。而且我们的构造是关于主对角线对称的，所以对于子方阵贴着左边边线也是拥有这个性质的。而且更有趣的是，如果我们把这个条件加上，构造就唯一了！证明易证。