组合意义：处理不固定大小集合的工具

1）最简单的，就是这个式子 \(\sum_\limits{b=0}^{n} \binom{a+b}{a} = \binom{n+a+1}{a+1}\)

GF 证明：

\[\begin{aligned} &Ans\\ =&\sum_{b=0}^{n}[x^b]\frac{1}{(1-x)^{a+1}}\\ =&[x^n]\sum_{b=0}^{n}\frac{1}{(1-x)^{a+2}}\\ =&\binom{n+a+1}{a+1} \end{aligned} \]

组合证明：
可以在在尾部添加一个用于确定 END 的特殊元素，\(\binom{n+a+1}{a+1}\) 即证。

2）证明：\(\sum_\limits{i\ge 0}\binom{x+y+i}{i}\binom{x-i}{a}\binom{y-i}{b} = \binom{x+a}{b}\binom{y+b}{a}\)

后文均用大写字母表示集合。

首先这个问题简单分析会发现，如果想区分 \(X,Y\)，左式缺少 \(\binom{x+y}{x}\)，所以两边同时乘上 \(\binom{x+y}{x}\)，即证\(\sum_\limits{i\ge 0}\binom{x+y+i}{x,y,i}\binom{x-i}{a}\binom{y-i}{b} = \binom{x+a}{b}\binom{y+b}{a}\binom{x+y}{x}\)

考虑由于存在 \(x+y\) ，所以我们认定 \(X,Y\) 无交，然后在 \(X,Y\) 中间放一个大小为 \(i\) 的集合 \(I\)，然后 \(A,B\) 集就是选上 \(I\) 后在各自 \(X,Y\) 里面再扣一点属于他。

再分析，发现这个问题可以写的很对称：考虑集合 \(F,G,H,J,K\)，这些集合都是最小最小的集合，然后 \(X=F\cup G,A=G\cup H,B=H\cup J,Y=J\cup K\)，然后我们发现对这几个集合的限制就变成了他们相邻之间的大小的和为定值。

关键的来了，我们考虑 \(\binom{x+a}{b}\binom{y+b}{a}\binom{x+y}{x}\) 这个东西构成的 3 个 \(01\) 序列，我们试图把一组方案和这 3 个 \(01\) 序列的任意组合构造双射。

我们首先构造 \(01\) 序列到集合的映射：我们考虑全集的最小值，能否通过这些集合的第一个数字确定，手玩分讨一下发现是可以唯一确定的，然后我们把这个最小值删掉，递归构造即可。

然后我们构造集合到 \(01\) 序列的映射：我们只要每次看看全集的这个第一个东西属于哪个小集合，然后把 \(01\) 序列的开头确定即可。

后记：这个式子其实是李善兰恒等式的超级扩展版，这种映射用于处理结果为组合数的乘积时非常有效。