2025.7.9NOIP模拟赛2

T3:

题目大意：

定义一种新型数据结构，让每个 \(i\) 都记录一个 \(L_{i}\)，然后要动态维护 \(\sum_{j = L_{i}}^{i} a_{j}\)，可以支持单点加，前缀求和的操作。

1. 单点加，假设将 \(x\) 这个位置增加 \(y\)，那么要对所有 \(L_{i} \le x \le i\) 的 \(i\) 的值做修改。
2. 前缀求和，假设查 \(\sum_{i = 1}^{x}\)，那么维护一个指针，初始指向 \(x\)，设当前在 \(p\)，那么跳到 \(L_{p} - 1\)，跳到 0 时结束。

现在给定 \(n\) 和两个序列 \(a, b\)，分别表示会在第 \(i\) 个位置单点加 \(a_{i}\) 次，以及 \(b_{i}\) 次前缀查。
问要怎样设计 \(L\)，才能使总修改量最小？（指的是指针的修改和值的修改的综总和）
\(n \le 5000\)

赛时思路：

考虑对于一个位置，假设指针从他跳到 \(0\) 要 \(cnt_{i}\) 步，那么他的 \(L_{i}\) 的 cnt 肯定在 \(L_{i}~i\) 中是唯一的最小值。
但这个题一是数据范围不算太大，二是没有一个能保证正确性的贪心策略，所以我们考虑 dp。
但 dp 好像也无法快速的记录状态。。。

解题思路：

考虑线性 dp 是不好做的，因为假设 \(L_{i} = j\)，那么 \(j + 1 \sim i\) 这段区间的贡献不好算。
那么我们考虑区间 dp。
设 \(dp_{i, j}\) 表示将区间 \(i \sim j\) 的 ”指针“ 只需跳到 \(i - 1\)，再加上修改的次数的最小值。

由于有上面那条”没有用“的性质，我们可以得到一个非常有用的事实：假设 \(i \le k \le j\) 是最后一个一步跳到 \(i - 1\) 的点，那么 \(k \sim j\) 一定是会经过 \(k\) 的！
那么我们可以将 ”深度和“ 转化成 ”子树和“，也就是 \(k -> i - 1\) 这条边会将 \(k \sim j\) 都贡献一遍，那么加上 \(\sum_{l = k}^{j} b_{l}\)。
然后由于这样会让修改 \(i \sim k\) 时都修改 \(k -> i - 1\) 这条边，所以还得加上 \(\sum_{l = i}^{k} a_{l}\)。

那么就有一个 \(O(n^3)\) 的式子：

\[dp_{i, j} = \min_{k = i}^{j} dp_{i, k - 1} + dp_{k + 1, j} + \sum_{l = k}^{j} b_{l} + \sum_{l = i}^{k} a_{l} \]

然后你设 \(w_{i, j, k}\) 为 \(\sum_{l = k}^{j} b_{l} + \sum_{l = i}^{k} a_{l}\)。
\(wa_{i, k}\) 为 \(\sum_{l = i}^{k} a_{l}\)，\(wb_{j, k}\) 为 \(\sum_{l = k}^{j} b_{l}\)。

那么 \(w_{i, j, k} = wa_{i, k} + wb_{j, k}\)，然后由于 \(wa\) 与 \(wb\) 都满足四边形不等式，所以你认为 \(w\) 也满足四边形不等式（（（

决策单调性优化可以变成 \(O(n^2)\)。

T4:

题目思路：

给定 \(n\) 和序列 \(a, b\) 和一个字符串 \(s\)。
初始有一个数 \(x = 0\)，现在要对于每个 \(i\) 从一到 \(n\)：将 \(x\) 异或 \(a_{i}\) 或 \(b_{i}\)。
然后 \(s_{i} = 0\) 表示第 \(i\) 步的人希望最终的值小，否则希望最终的值大。
\(n \le 2 \times 10^5\)

解题思路：

异或是个很厉害的东西。

首先，我们可以将 \(c_{i} = a_{i} ⊕ b_{i}\)，那么先将 \(x = ⊕_{i = 1}^{n} a_{i}\)，那么问题就变成了选/不选 \(c_{i}\)。
由于是二进制最值问题，我们从高位到低位去考虑。
假设最后一个第 \(i\) 位为 1 的位置是 \(p\)，那么显然 \(p\) 是可以直接对答案的第 \(i\) 位影响的。

但前面第 \(i\) 位为 1 的二进制位也可以对 \(p\) 做影响！！

先考虑前面只有一个第 \(i\) 位为 1 的数。
假设前面的数为 \(x\)，\(c_{p} = y\)，且第 \(p\) 手的人一定要选 \(c_{p}\)（不选同理）。
那么如果 \(x\) 选，那么 \(y\) 不选；如果 \(x\) 不选，那么 \(y\) 选。
也就是 \(x,y\) 中只能选一个！！
那么我们将 \(y\) 给选入，删掉，并将 \(x ⊕ y\) 替换掉 \(x\)！
这样不仅没有改变问题，而且将 \(x\) 的第 \(i\) 位消掉了！！

但如果有多个数呢？
不会有影响！！！因为 \(x ⊕ y ⊕ y ⊕ z = x ⊕ z\)！！！
这样 \(y\) 还是没选，异或的性质！！！

那么直接把所有的第 \(i\) 位为 1 的数都异或上 \(c_{p}\)，就可以递归做下去了！
\(O(n \log V)\)。

也是一道配得上 74 人场切的 *2900 了，感觉很有意思，而且和 CF2071D2 都是异或性质灵活运用的题了。