数学定理

卷积

范德蒙德卷积：

\[\sum_{i=0}^k \binom{n}{i} \times \binom{m}{k - i} = \binom{n + m}{k} \]

阶乘

Wilson 定理：

\(n > 1\) 时是素数当且仅当：

\[(n-1)! \equiv -1 \mod p \]

Legendre 公式

设 \(v_{p}(n!)\) 表示 \(n!\) 中含有 p 的幂次为 \(v_{p}(n!)\)。
则有：

\[v_{p}(n!) = \lfloor \frac{n}{p} \rfloor + v_{p}(\lfloor \frac{n}{p} \rfloor !) \]

因为本来是 \(1 \times p, 2 \times p, \sim, \lfloor \frac{n}{p} \rfloor \times p\)，现在都去掉了一个 \(p\)，变成 \(\lfloor \frac{n}{p} \rfloor!\)。
递归下去，设 \(S_{p}(n)\) 表示 \(n\) 的 \(p\) 进制中各个位数之和，有

\[v_{p}(n!) = \frac{n - S_{p}(n)}{p-1} \]