构造专题

CF1198C Matching vs Independent Set

给一个无向图，\(3 \times n\) 个点， \(m\) 条边，请找大小为 \(n\) 的点独立集或边独立集。
\(n,m \le 5 \times 10^5\)

解题思路：

不难发现一个大小为 \(n\) 的独立集和一个大小为 \(n\) 的边独立集，两个点数加起来最多为 \(3 \times n\) 的。
然后当一个边独立集中不能再从他点集的补集中加边时，就说明他点集的补集是一个点独立集。
所以考虑任选一个极大边独立集，那么分讨一下是选边独立集还是点独立集就行。

CF618F Double Knapsack

给了你两个数组 A 和 B，请问能不能从 A，B 中各选一个集合使得和相同。
\(n \le 10^6,1 \le A_{i},B_{i} \le n\)

解题思路：

考虑从中选出的集合不同的和最多有 \(\frac{n \times (n + 1)}{2}\) 种不同的数字。
然后一个数组的子段的个数也为 \(\frac{n \times (n + 1)}{2}\) 个。
我们猜测他子段也可以做。
设 \(suma_{i} = sum_{j=1}^i a_{j}, sumb_{i} = \sum_{j=1}^i b_{j}\)。
强定 \(suma_{n} \le sumb_{n}\)。
设 \(p_{i} = min_{suma_{i} < sumb_{j}} j\)，则有 \(1 \le sumb_{p_{i}} - suma_{i} \le n\)。
由于对于任意的 \(0 \le i \le n\)，都有 \(p_{i}\)，所以一定存在两个整数 \(i,j\) 使得 \(sumb_{p_{i}} - suma_{i} = sumb_{p_{j}} - suma_{j}\)。
于是就能找到一个解。
用双指针能做到 \(O(n)\)。

感觉构造还是需要先找到性质，再转化问题才能做啊。
而且我们也可以通过放缩范围来方便构造。

CF2129C3 Interactive RBS (Hard Version)

题目大意：

有一个长为 \(n\) 的只有左右括号的未知的字符串，每次可以向交互库以任意顺序给定不超过 1000 的若干个可以重复的位置，交互库会回答拼成的串中多少个匹配字串。
需要输出这个串。
\(n \le 1000\)，次数上限 100 次。

解题思路：

先考虑 C1 也就是 550 次操作怎么做。
考虑由于初始是什么都不知道的，所以胡乱查询很难推理出字符串。
我们考虑找到第一个发生匹配的位置，那么就能确定一个左括号一个右括号。
这个可以通过二分前缀查询，只用十次操作。
那么由于 \(500 = \frac{1000}{2}\)，我们有足够的步数去两两询问，所以我们考虑要构造一种方案去快速查询两个，并让他们能唯一确定。
我们发现可以询问 \((()(i i-1\) 即可唯一确定两个相邻的了。

C2：200次操作。
我们发现在 C1 的构造中两两查询的效率太低了，因为一次查询只能询问两个。
那么我们可以一次询问多对，并类似二进制来询问并唯一确定信息。
我们发现这样就可能超过长度 1000 的限制，所以我们考虑通过构造 \(i))i+1))i+1))i+2))i+2))i+2))i+2))\) 类似让他压缩成一个二进制数。
那么我们就可以通过 C2。

C3: 100次操作：
发现 C2 中相同位置互相影响是没事的，所以可以构造 \(i))i+1)i+1))i+2)i+2)i+2)i+2))\)。
那么就能压进 100 次了。

赛时只想到了 C1，下一次看见这种类似解压的形式之后可以考虑通过进制来解决。

CF2124E Make it Zero

题目大意：

有一个长为 \(n\) 的序列 \(a\)，每次可以选择一个长度为 \(n\) 的序列 \(b\)，使得 \(0 \le b_{i} \le a_{i}\)，而且存在一个 \(1 \le j \le n\) 使得 \(\sum_{k = 1}^{j}b_{k} = \sum_{k = j + 1}^{n} b_{k}\)。
并将所有的 \(a_{i}\) 减去 \(b_{i}\)，请构造一个最小的方案数使得 \(a\) 全为 \(0\)。
\(n \le 2 \times 10^5\)

解题思路：

我被诈骗了 /ll
他在输出格式的时候写了个要求 \(cnt \le 17\)，然后我就自然地想到了分治上了/ll

以后看到他要求最小步数的时候大概率是会很少的，\(O(1)\) 级别。

首先如果最大值大于其他数之和，那么一定无解。
其次他的和是奇数的话由于每次一定是减少个偶数那么也无解。

那么考虑一次消的情况，那么就是存在一个 \(j\) 满足 \(\sum_{k = 1}^{j} a_{k} = \sum_{k = j + 1}^{n} a_{k}\)。
然后我们感觉他的 \(b\) 非常自由，于是大胆猜测他一定可以两步之内解决。

我们考虑找到一个最小的 \(j\) 使得 \(sum_{i = 1}^{j} a_{j} > sum_{i = j + 1}^{n} a_{j}\)。
然后我们只需要在一步之内消掉 \(sum_{i = 1}^{j} a_{j} - sum_{i = j + 1}^{n} a_{j}\)。
那么我们需要一步之内在 \(1 \sim j\) 的前缀中消掉 \(sum_{i = 1}^{j} a_{j} - sum_{i = j + 1}^{n} a_{j}\)。
由于 \(j\) 是最小的 \(sum_{i = 1}^{j} a_{j} > sum_{i = j + 1}^{n} a_{j}\)，所以 \(a_{j} > \frac{sum_{i = 1}^{j} a_{j} - sum_{i = j + 1}^{n} a_{j}}{2}\)。

也就是说我们要求在 \(1 \sim j - 1\) 中找到 \(\frac{sum_{i = 1}^{j} a_{j} - sum_{i = j + 1}^{n} a_{j}}{2}\)。
只要我们保证 \(\sum_{k = 1}^{j - 1} a_{k} \ge \frac{sum_{i = 1}^{j} a_{j} - sum_{i = j + 1}^{n} a_{j}}{2}\) 即可。

由于 \(a\) 中任意一个数的二倍都比和小，所以一定能找到。
那么就可以 \(O(n)\) 输出方案了。

CF2038 G Guess One Character

题目大意：

有一个长度为 \(n\) 的未知的 01 串，你可以进行不超过三次以下操作：
给定一个长度不超过 \(n\) 的 01 串，系统将返回这个串在隐藏的串里作为子串出现了多少次。
求出这个串中任意一个位置是什么。
\(n \le 3 \times 10^5\)

解题思路：

由于只需要输出 1 个位置的值，并且只有 \(3\) 次查询。
那么最特殊的位置一定是首/尾，因为他们没有前一个/后一个。

由于是对称的，我们不妨求 \(s_{1}\) 的值。
因为它前面没有值，所以我们可以通过长度为 \(1,2\) 的字串来区分它与后面的位置。
那么假设 \(s_{1} = '0'\)，则有 \(cnt_{00}+cnt_{10}=cnt_{0}-1\)。
所以我们询问 \(0,00,10\)，如果它满足上面的条件，则 \(s_{1} = '0'\)，否则 \(s_{1} = '1'\)。

构造题一开始构造范围较大，可以通过合理的推理和猜测来一点一点缩小可能的构造范围。

CF2029F:

题目大意：

有一个 \(n\) 个点的环， \(i\) 到 \((i + 1) \mod n\) 有一条颜色为 \(B\) 或者 \(R\) 颜色的路。
给你每一条边的颜色，请判断任意两点之间是否存在一条回文路径，注意路径可以不是简单路径。
\(n \le 10^6\)。

解题思路：

考虑判断回文是不好判断的，我们可以先找一些必要条件，也就是第一步的字符一定要与最后一步的字符相同。
但是如果有一个点两边的边均为 \(R\) 且有一个点的两边均为 \(B\)，说明一定不合法。

所以整个环现在变成了若干个 \(R\) 再加一个 \(B\) 重复下去。
由于他允许反复走，所以不难发现连续段的长度的奇偶才是比较重要的。

也就是要求经过的连续段的奇偶要回文。
那么如果同时存在两个长度为偶数的连续段，由于偶数段一个位置的两边要么是两个偶数，要么是两个奇数，所以可以钦定一起一终来使答案为 NO。
然后开始观察样例，发现 \(RBRBRB\) 是不合法的，是因为我们在长度为奇数的段上的时候虽然不能立即确定 YES/NO，但是我们可以钦定要么同时向奇数的一侧走，要么同时向偶数的一侧走。

这样发现如果全都是长度为奇数的段的时候是构造不出来的，但只要有一个偶数段就一定能找出来。
也就是经过长度为偶数段一定可以。
那么就能找到本题的充要条件了，都是好判的。