[x-means] 1.x-means简介

本文基于《X-means》和《BIC-notes》（原论文中BIC公式有误，这是对BIC的补充）

#####K-means的缺点

• 每一轮迭代的计算花费大
• 需要用户指定K
• 易于收敛到局部最优解

#####X-means的改进

• 使用kd-tree加速原K-means的每一轮迭代
• 用户指定K所属的范围，根据BIC score选到最优K
• 每一轮迭代只进行2-means（2-means对局部最优解不敏感）

####X-means算法步骤

• 用户输入 \(k\_{min},k\_{max}\)，数据集 \(D\)

1. 运行$K_$-means
2. 在每个聚类上，运行2-means
   根据BIC score（只在该聚类上计算，即只计算本聚类数据只分成1类和两类时的BIC score）决定是否二分聚类
3. 如果$K<K_$，继续进行步骤2，否则返回结果

• 样例

1. 首先将$D$分成3个聚类
2. 再将每个子聚类分成2个聚类
   计算BIC score决定是否二分
   

####BIC score(Bayesian Information Criterion)

• \(BIC(\phi)=\hat{l_{\phi}}(D)-\frac{p_{\phi}}{2}\cdot log\ R\)
  其中$\phi$表示模型，$\hat{l_{\phi}}(D)$为likelihood，$p_{\phi}$为模型的复杂度（自由参数个数）
• X-means的假设：identical spherical assumption
  数据由X个高斯函数残生，每个高斯函数有一样的方差$\sigma$(每个维度上的变量不相关，协方差矩阵为$diag(\sigma)\()、不同的\)\mu_i$；
  数据生成时，根据概率$p_i$选择一个高斯函数$g_i$，然后生成一个点
  所以似然函数为：
  \(l_{\phi}(D) = \sum_{i=1}^R [log\ p(g_{(i)})+log\ p(x_i)]\)
  其中$p(g_{(i)})$为生成点$x_i$的高斯函数被选到的概率
• 计算BIC，需要计算最大化的$\hat{l_{\phi}}(D)$,所以需要对参数进行估计
  \(p(g_k)=\frac{R_k}{R}\)
  \(\sigma^2=\frac{1}{MR}\sum_{k=1}^{K}\sum_{x_i\in D_k}{\left\|x_i-\mu_k\right\|}^2\)
  文中使用无偏估计，即$\sigma^{2=\frac{1}{M(R-K)}\sum_}\sum_{x_i\in D_k}{\left|x_i-\mu_k\right|}^2$
• $p_{\phi}$自由参数个数
  K-1个高斯函数选择到的概率，MK 个每个高斯函数每个维度上的mean，1个方差
  所以$p_{\phi}=(M+1)K$

####KD-tree加速K-means