第2章 函数的连续性

第2章 函数的连续性

§2.1 集合的映射

(上.P55)定义2.1.1 一个从A到B的映射；集合A叫作映射的定义域；f(x)叫作x在映射之下的像或映射在x上的值

• 定义2.1.1 设\(A\)，\(B\)是两个集合，如果\(f\)是一种规律, 使得对\(A\)中的每一个元素\(x\), \(B\)中有唯一确定的元素——记为\(f(x)\)——与\(x\)对应，则称\(f\)是一个从\(A\)到\(B\)的映射，用$$f: A\rightarrow B$$来表示.集合\(A\)叫作映射\(f\)的定义域; \(f(x)\in B\)叫作\(x\)在映射\(f\)之下的像或\(f\)在\(x\)上的值.

(上.P56)确定一映射的两要素；集合E的像；定义域的像叫作映射的值域

• 要确定一个映射\(f\)，须有两个要素：\(\\\)
  (1)\(f\)的定义域\(A\);\(\\\)
  (2)规律\(f\)，即对任何\(x\in A\), 像\(f(x)\)是什么.\(\\\)
  设\(E\subset A\), 即\(E\)为\(A\)的一个子集. 令$$f(E) = \{f(x): x\in E \}.$$也就是说，\(f(E)\)是在映射\(f\)之下\(E\)中元素的像的全体，称为\(E\)的像.显然，如果\(f: A\rightarrow B\). 那么\(f(E)\subset B\). 特别地，定义域\(A\)的像\(f(A)\)叫作\(f\)的值域.

(上.P56)定义2.1.2 两映射相等

• 定义2.1.2 设\(f:A\rightarrow B\)，且\(g: A\rightarrow B\). 如果对任何\(x\in A\), 均有\(f(x) = g(x)\), 则称映射\(f\)与\(g\)相等，记为\(f=g\).

(上.P56)定义2.1.3 从A到B上的满射，即，B中的任何元素都是A中某一元素在映射之下的像

• 定义2.1.3 设\(f: A\rightarrow B\). 如果\(f(A)=B\), 则称\(f\)是从\(A\)到\(B\)上的满射，也就是说, \(B\)中的任何元素都是\(A\)中某一元素在\(f\)之下的像.

(上.P56)定义2.1.4 单射

• 定义2.1.4 设\(f: A\rightarrow B\). 如果当\(x,y\in A\), 且\(x\neq y\)时, 有\(f(x)\neq f(y)\), 则称\(f\)为单射.

(上.P56)定义2.1.5 映射是一对一的， 也说映射在集合A与B之间建立一个一一对应

• 定义2.1.5 设\(f: A\rightarrow B\)既是单射又是满射，则称映射\(f\)是一对一的. 这时，也说\(f\)在集合\(A\)与\(B\)之间建立一个一一对应.

(上.P56)定义2.1.6 集合的原像

• 定义2.1.6 设\(f: A\rightarrow B\), \(F\subset B\)，则\(A\)的子集$$f^{-1}(F)={x\in A:f(x)\in F}$$叫作\(F\)的原像.

(上.P57)定义2.1.7 两映射的复合

• 定义2.1.7 设映射\(f: B\rightarrow C\). 映射\(g\)的定义域为\(A\). 当\(x\in A_1 = g^{-1}(B)\)时，定义映射$$f\circ g(x) = f(g(x)).$$显然, \(f\circ g: A_1\rightarrow C\)，称为映射\(f\)与\(g\)的复合.

(上.P57)映射复合的可结合性；f的n次的复合

• 我们可以考虑多次复合的情况. 设\(f, g\)与\(h\)都是\(A\)到\(A\)的映射，可以定义两次复合$$f\circ (g\circ h)(x) = f(g\circ h(x)) = f(g(h(x))).$$
  依这一定义, 可知对一切\(x\in A\), 有$$(f\circ g)\circ h(x) = f\circ g(h(x)) = f(g(h(x))).$$比较以上两个等式，立即得出$$f\circ (g\circ h) = (f\circ g)\circ h,$$这表明“复合”这一运算是可以“结合”的. 因此，把\(f\circ (g\circ h)\)直接写成\(f\circ (g\circ h)\)不会造成混乱.\(\\\)
  设\(f: A\rightarrow A,\) 那么\(f\)的\(n\)次的复合\(f\circ f\circ \cdots \circ f\)(这里有\(n\)个\(f\)), 可以简记为\(f^n\).

(上.P58)集合A上的恒等映射

• 若集合\(A\)到自身的映射\(I_A\)，使得\(I_A(x) = x\)对一切\(x\in A\)成立，则称\(I_A\)为\(A\)上的恒等映射.

§2.2 集合的势

(上.P59)两个集合等价(定义)；等价关系的三条性质(自反性、对称性、传递性)

• 设\(A\)与\(B\)是两个集合, 如果存在一个从\(A\)到\(B\)上的一对一的映射，我们就称集合\(A\)与\(B\)有相同的“势”或有相同的“基数”，这时我们称\(A\)与\(B\)等价，用\(A〜B\)表示. \(\\\)
  等价关系具有的性质：
  \(\\ \quad\)自反性：\(A〜A\);
  \(\\ \quad\)对称性：若\(A〜B\)，则\(B〜A\);
  \(\\ \quad\)传递性：若\(A〜B\)且\(B〜C\), 则\(A〜C\).

(上.P59)定义2.2.1 集合的分类：有限集、无限集、可数集、不可数集；集合是至多可数的

• 定义2.2.1 令\(N^*\)是正整数的全体，且$$N_n = {1,2,\cdots,n}.$$(1) 如果存在一个正整数\(n\)，使得集合\(A〜N_n\)，那么\(A\)叫作有限集. 空集也被认为是有限集.
  (2) 如果集合\(A\)不是有限集，则称\(A\)为无限集.
  (3) 若\(A〜N^*\)，则称\(A\)为可数集.
  (4) 若\(A\)既不是有限集，也不是可数集，则称\(A\)为不可数集.
  (5) 若\(A\)是有限集或者\(A\)是可数集，则称\(A\)是至多可数的.

(上.P60)集合的势是有限集中“元素个数”这一概念的推广，并且“势”是一切互相等价的集合唯一共有的属性.

(上.P60)定理2.2.1 可数集\(A\)的每一个无限子集是可数集.

• 粗略地说, 这个定理表明, 可数集代表着“最小的”无限势, 因为没有不可数的集能作为一个可数集的子集.

(上.P60)定理2.2.2 可数个至多可数集的并集是至多可数集.

• 定理2.2.2 设\(\lbrace E_n\rbrace(n=1,2,3,\cdots)\)是一列至多可数集. 令
  \[S = \bigcup_{n =1}^\infty E_n, \]
  那么\(S\)是至多可数集.