母函数解题和拓展母函数

原题：给定硬币1 5 10 25 50，数目不限，问构成总数n有多少种方法？

很简单，这是一个普通的母函数类型，通解。代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define mem0(f) memset(f,0,sizeof(f))
#define M 300
int c1[M],c2[M];
int main()
{
    int n;
    int m[5]={1,5,10,25,50};
    while(cin>>n)
    {
        if(n)cout<<1<<endl;
        else
        {
            mem0(c1);
            mem0(c2);
            for(int i=0;i<=n;i++)
                c1[i]=1;
            for(int i=1;i<5;i++)//表示括号
            {
                for(int k=0;k<=n;k++)//大括号的数据
                {
                for(int j=0;j+k<=n;j+=m[i])
                        {
                            c2[j+k]+=c1[k];
                        }
                }
                for(int j=0;j<=n;j++)
                {
                    c1[j]=c2[j];
                }
                mem0(c2);
            }
            cout<<c1[n]<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

变体：

题意，硬币1 5 10 25 50，在使用的总硬币数不大于100的情况下构成总数n有多少种方法？

解析：这个题目数据特殊，可以打表做，dp也是通法，这里只介绍母函数法。

母函数的一般思路，一个c1[i]数组，表示构成总数i有c1[i]种方法，另一个c2数组作为中间存储数组，核心思路是一个个括号展开，

在这里为了表示钱币数，数组拓展表示为c1[i][k]表示用k个硬币构成总数i有c1[i][k]种方法。代码如下

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define mem0(f) memset(f,0,sizeof(f))
#define M 300
int c1[M],c2[M];
int ctz1[M][M],ctz2[M][M];//ctz[i][k]表示用k个银币组成总数i的可能方法书为ctz[i][k]
int main()
{
    int n;
    int m[5]={1,5,10,25,50};
    while(cin>>n)
    {
        if(!n)cout<<1<<endl;
        else
        {
            mem0(ctz1);
            mem0(ctz2);
            mem0(c1);
            mem0(c2);
           //for(int i=0;i<=n;i++)
                //c1[i]=1;
            //ctz1[0][0]=1;
            for(int i=0;i<=n&&i<=100;i++)
            {
                ctz1[i][i]=1;
            }
            for(int i=1;i<5;i++)//表示括号
            {
                for(int k=0;k<=n;k++)//大括号的数据
                {
                for(int j=0;j*m[i]+k<=n;j++)
                        {
                            //c2[j+k]+=c1[k];
                            for(int p=0;p+j<=100;p++)
                            {
                                ctz2[j*m[i]+k][p+j]+=ctz1[k][p];
                            }
                        }
                }
                for(int j=0;j<=n;j++)
                {
                    for(int p=0;p<=100;p++)
                    {
                        ctz1[j][p]=ctz2[j][p];
                    }
                    //c1[j]=c2[j];
                }
               // mem0(c2);
               mem0(ctz2);
            }
            int s=0;
            for(int i=0;i<=100;i++)
            {
                s+=ctz1[n][i];
            }
            cout<<s<<endl;
            //cout<<c1[n]<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

熟练之后，代码就可以精简了：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define M 300
#define mem0(f) memset(f,0,sizeof(f))
int coin[5]={1,5,10,25,50};
int c1[M][M],c2[M][M];//c1[i][k]表示用k个硬币组成总数i共有c1[i][k]
int s;
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        mem0(c1);
        mem0(c2);
        s=0;
        //初始化，不要忘记了
        for(int i=0;i<=100;i++)
            c1[i][i]=1;
        for(int i=1;i<=4;i++)//还有四个括号要合并
        {
            for(int k=0;k<=n;k++)//已经展开了的式子
            for(int p=0;p*coin[i]+k<=n;p++)
                {
                    for(int j=0;j+p<=100;j++)
                        {
                              c2[p*coin[i]+k][j+p]+=c1[k][j];
                        }
                }
            for(int i=0;i<=n;i++)
                {
                    for(int k=0;k<=100;k++)
                        c1[i][k]=c2[i][k];
                }
            mem0(c2);
        }
        for(int i=0;i<=100;i++)
        {
            s+=c1[n][i];
        }
        printf("%d\n",s);
    }
    return 0;
}

 

这样母函数的使用范围又多了一些。

以后就是教我们找拼钱的最小数也不怕了

依然母函数法，找ctz[n][i]for i=0开始找ctz[n][i]非0的i。

通解万岁！