线段树普及版

一、简介线段树

\(ps\): 此处以询问区间和为例

线段树之所以称为“树”，是因为其具有树的结构特性。线段树由于本身是专门用来处理区间问题的（包括\(RMQ\)、\(RSQ\)问题等），所以其结构可以近似的看做一棵二叉查找树：

\(emmmmm\)图是从网上偷的

对于每一个子节点而言，都表示整个序列中的一段子区间；对于每个叶子节点而言，都表示序列中的单个元素信息；子节点不断向自己的父亲节点传递信息，而父节点存储的信息则是他的每一个子节点信息的整合。

有没有觉得很熟悉？对，线段树就是分块思想的树化，或者说是对于信息处理的二进制化——用于达到\(O(logn)\)级别的处理速度，\(log\)以\(2\)为底。（其实以几为底都只不过是个常数，可忽略)。而分块的思想，则是可以用一句话总结为：通过将整个序列分为有穷个小块，对于要查询的一段区间，总是可以整合成\(k\)个所分块与\(m\)个单个元素的信息的并\((0<=k,m<=\sqrt{n})\)。但普通的分块不能高效率地解决很多问题，所以作为\(log\)级别的数据结构，线段树应运而生。

二、逐步分析线段树的构造实现

1、建树与维护

由于二叉树的自身特性，对于每个父亲节点的编号\(i\),他的两个儿子的编号分别是\(2i\)和\(2i+1\)，所以我们考虑写两个\(O(1)\)的取儿子函数：

    int n;
	int ans[MAXN*4];
	
	inline int ls(int p){
		return p<<1;
	}//左儿子 
	inline int rs(int p){
		return p<<1|1;
	}//右儿子 

\(ps:\)此处的\(inline\)可以有效防止无需入栈的信息入栈，节省时间和空间

那么根据线段树的服务对象，可以得到线段树的维护:

    void push_up_sum(int p){
		t[p]=t[lc(p)]+t[rc(p)];
	}//	向上不断维护区间操作 
	
	void push_up_min(int p)//max
	{
	 t[p]=min(t[lc(p)],t[rc(p));
     //t[p]=max(t[lc(p)],t[rc(p));             
    }

此处一定要注意，\(push up\)操作的目的是为了维护父子节点之间的逻辑关系。当我们递归建树时，对于每一个节点我们都需要遍历一遍，并且电脑中的递归实际意义是先向底层递归，然后从底层向上回溯，所以开始递归之后必然是先去整合子节点的信息，再向它们的祖先回溯整合之后的信息。(这其实是正确性的证明啦)

那么对于建树，由于二叉树自身的父子节点之间的可传递关系，所以可以考虑递归建树（\(emmmm\)之前好像不小心剧透了\(qwq\)），并且在建树的同时，我们应该维护父子节点的关系：

void build(ll p,ll l,ll r)
{
	if(l==r){ans[p]=a[l];return ;}
    //如果左右区间相同，那么必然是叶子节点啦，只有叶子节点是被真实赋值的
	ll mid=(l+r)>>1;
	build(ls(p),l,mid);
	build(rs(p),mid+1,r);
//此处由于我们采用的是二叉树，所以对于整个结构来说，可以用二分来降低复杂度，否则树形结构则没有什么明显的优化
	push_up(p);
//此处由于我们是要通过子节点来维护父亲节点，所以pushup的位置应当是在回溯时。
} 

2、接下来谈区间修改

为什么不讨论单点修改呢\(qwq\)?因为其实很显然，单点修改就是区间修改的一个子问题而已，即区间长度为\(1\)时进行的区间修改操作罢了\(qwq\)

那么对于区间操作，我们考虑引入一个名叫“\(lazy\) \(tag\)”（懒标记）的东西——之所以称其“\(lazy\)”，是因为原本区间修改需要通过先改变叶子节点的值，然后不断地向上递归修改祖先节点直至到达根节点，时间复杂度最高可以到达\(O(nlogn)\)的级别。但当我们引入了懒标记之后，区间更新的期望复杂度就降到了\(O(logn)\)的级别且甚至会更低.

不扯淡了，聊正事：

（1）首先先来从分块思想上解释如何区间修改：

分块的思想是通过将整个序列分为有穷个小块，对于要查询的一段区间，总是可以整合成\(k\)个所分块与\(m\)个单个元素的信息的并\((0<=k,m<=logn)\)(小小修改了一下的上面的前言\(qwq\))

那么我们可以反过来思考这个问题：对于一个要修改的、长度为\(l\)的区间来说，总是可以看做由一个长度为\(2\)^\(log\)(\(\lfloor{n}\rfloor{}\))和剩下的元素（或者小区间组成）。那么我们就可以先将其拆分成线段树上节点所示的区间，之后分开处理：

如果单个元素被包含就只改变自己，如果整个区间被包含就修改整个区间

其实好像这个在分块里不是特别简单地实现，但是在线段树里，无论是元素还是区间都是线段树上的一个节点，所以我们不需要区分区间还是元素，加个判断就好。

（2）懒标记的正确打开方式

首先，懒标记的作用是记录每次、每个节点要更新的值，也就是\(delta\),但线段树的优点不在于全记录（全记录依然很慢qwq），而在于传递式记录：

** 整个区间都被操作，记录在公共祖先节点上；只修改了一部分，那么就记录在这部分的公共祖先上；如果四环以内只修改了自己的话，那就只改变自己。**

\(\rm{After}\) \(\rm{tha}t\)，如果我们采用上述的优化方式的话，我们就需要在每次区间的查询修改时\(pushdown\)一次，以免重复或者冲突或者爆炸\(qwq\)

那么对于\(pushdown\)而言，其实就是纯粹的\(pushup\)的逆向思维(但不是逆向操作)：
因为修改信息存在父节点上，所以要由父节点向下传导\(lazy\) \(tag\)

那么问题来了：怎么传导\(pushdown\)呢？这里很有意思，开始回溯时执行\(pushup\),因为是向上传导信息；那我们如果要让它向下更新，就调整顺序，在向下递归的时候\(pushdown\)不就好惹~\(qwq\)：

inline void f(ll p,ll l,ll r,ll k)
{
	tag[p]=tag[p]+k;
	ans[p]=ans[p]+k*(r-l+1);
	//由于是这个区间统一改变，所以ans数组要加元素个数次啦 
}
//我们可以认识到，f函数的唯一目的，就是记录当前节点所代表的区间 
inline void push_down(ll p,ll l,ll r)
{
	ll mid=(l+r)>>1;
	f(ls(p),l,mid,tag[p]);
	f(rs(p),mid+1,r,tag[p]);
	tag[p]=0;
	//每次更新两个儿子节点。以此不断向下传递 
}
inline void update(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll p,ll k)
{
	//nl,nr为要修改的区间
	//l,r,p为当前节点所存储的区间以及节点的编号 
	if(nl<=l&&r<=nr)
	{
		ans[p]+=k*(r-l+1);
		tag[p]+=k;
		return ;
	}
	push_down(p,l,r);
	//回溯之前（也可以说是下一次递归之前，因为没有递归就没有回溯） 
	//由于是在回溯之前不断向下传递，所以自然每个节点都可以更新到 
	ll mid=(l+r)>>1;
	if(nl<=mid)update(nl,nr,l,mid,ls(p),k);
	if(nr>mid) update(nl,nr,mid+1,r,rs(p),k);
	push_up(p);
	//回溯之后 
}

（3）那么对于区间查询

没什么好说的，由于是信息的整合，所以还是要用到分块思想，我实在是不想再码一遍了\(qwq\)

ll query(ll q_x,ll q_y,ll l,ll r,ll p)
{
	ll res=0;
	if(q_x<=l&&r<=q_y)return ans[p];
	ll mid=(l+r)>>1;
	push_down(p,l,r);
	if(q_x<=mid)res+=query(q_x,q_y,l,mid,ls(p));
	if(q_y>mid) res+=query(q_x,q_y,mid+1,r,rs(p));
	return res;
}

最后贴高清无码的标程：

（还有，输入大数据一定不要用不加优化的cin/cout啊）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 1000001
#define ll long long
using namespace std;
unsigned ll n,m,a[MAXN],ans[MAXN<<2],tag[MAXN<<2];
inline ll ls(ll x)
{
    return x<<1;
}
inline ll rs(ll x)
{
    return x<<1|1;
}
void scan()
{
    cin>>n>>m;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&a[i]);
}
inline void push_up(ll p)
{
    ans[p]=ans[ls(p)]+ans[rs(p)];
}
void build(ll p,ll l,ll r)
{
    tag[p]=0;
    if(l==r){ans[p]=a[l];return ;}
    ll mid=(l+r)>>1;
    build(ls(p),l,mid);
    build(rs(p),mid+1,r);
    push_up(p);
} 
inline void f(ll p,ll l,ll r,ll k)
{
    tag[p]=tag[p]+k;
    ans[p]=ans[p]+k*(r-l+1);
}
inline void push_down(ll p,ll l,ll r)
{
    ll mid=(l+r)>>1;
    f(ls(p),l,mid,tag[p]);
    f(rs(p),mid+1,r,tag[p]);
    tag[p]=0;
}
inline void update(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll p,ll k)
{
    if(nl<=l&&r<=nr)
    {
        ans[p]+=k*(r-l+1);
        tag[p]+=k;
        return ;
    }
    push_down(p,l,r);
    ll mid=(l+r)>>1;
    if(nl<=mid)update(nl,nr,l,mid,ls(p),k);
    if(nr>mid) update(nl,nr,mid+1,r,rs(p),k);
    push_up(p);
}
ll query(ll q_x,ll q_y,ll l,ll r,ll p)
{
    ll res=0;
    if(q_x<=l&&r<=q_y)return ans[p];
    ll mid=(l+r)>>1;
    push_down(p,l,r);
    if(q_x<=mid)res+=query(q_x,q_y,l,mid,ls(p));
    if(q_y>mid) res+=query(q_x,q_y,mid+1,r,rs(p));
    return res;
}
int main()
{
    ll a1,b,c,d,e,f;
    scan();
    build(1,1,n);
    while(m--)
    {
        scanf("%lld",&a1);
        switch(a1)
        {
            case 1:{
                scanf("%lld%lld%lld",&b,&c,&d);
                update(b,c,1,n,1,d);
                break;
            }
            case 2:{
                scanf("%lld%lld",&e,&f);
                printf("%lld\n",query(e,f,1,n,1));
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}