Luogu3726 [AH2017/HNOI2017]抛硬币

Luogu3726 [AH2017/HNOI2017]抛硬币

范德蒙德卷积

这玩意挺鸡肋的，因为你自己也能推出来，我是在做这道题时听说它的。

\[\sum_{i=0}^{k}{n \choose i}{ m \choose k-i}={n+m \choose k} \]

直接考虑组合意义证明即可。

解析

还是讲讲这道题怎么做吧。先考虑\(a=b\)的情况。你会发现对于一种局面，将它所有结果取反后，输赢结果亦会取反，那么\(A\)获胜的情况便与\(B\)获胜的情况一一对应，所以情况数为\(\frac{2^{a+b}-\sum_{i=0}^{a}{a \choose i}^2}{2}=\frac{2^{a+b}-{2a \choose a}}{2}\)，就是上面那个式子的应用。现在看一看\(a!=b\)的情况，我们只要将取反后\(A\)赢的情况仍然与\(A\)赢的情况对应的数量加上去再除以2就行了，假设\(A\)抛出\(x\)个正面，\(B\)抛出\(y\)个正面，那么有：

\[x \gt y \]

\[a-x \gt b-y \]

解之得：\(1 \leq x-y \leq a-b-1\)，那么上述方案数即为：

\(f(i)=\sum_{i=0}^{b}{b \choose i}\sum_{j=1}^{a-b-1}{a \choose i+j}\)
\(=\sum_{j=1}^{a-b-1}\sum_{i=0}^{b}{a \choose i+j}{b \choose b-i}\)
\(=\sum_{j=1}^{a-b-1}{a+b \choose b+j}=\sum_{i=b+1}^{a-1}{a+b \choose j}\)

所以答案为\(\frac{2^{a+b}-{a+b \choose b}+f(i)}{2}\)，代码就咕咕咕了。