树状数组从入门到入土

 

我们为什么使用树状数组?

 (参考了 http://hzwer.com/914.html)

如果给定一个数组,要你求里面所有数的和,一般都会想到累加。但是当那个数组很大的时候,累加就显得太耗时了,时间复杂度为O(n),并且采用累加的方法还有一个局限,那就是,当修改掉数组中的元素后,仍然要你求数组中某段元素的和,就显得麻烦了。所以我们就要用到树状数组,他的时间复杂度为O(lgn),相比之下就快得多。下面就讲一下什么是树状数组:

下面来分析一下上面那个图看能得出什么规律:

据图可知:c1=a1,c2=a1+a2,c3=a3,c4=a1+a2+a3+a4,c5=a5,c6=a5+a6,c7=a7,c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,c9=a9,c10=a9+a10,c11=a11……..c16=a1+a2+a3+a4+a5+…….+a16。

分析上面的几组式子可知:

  • 当 i 为奇数时,ci=ai ;
  • 当 i 为偶数时,就要看 i 的因子中最多有二的多少次幂,例如,6 的因子中有 2 的一次幂,等于 2 ,所以 c6=a5+a6(由六向前数两个数的和),4 的因子中有 2 的两次幂,等于 4 ,所以 c4=a1+a2+a3+a4(由四向前数四个数的和)。

(一)有公式:cn=a(n-2k+1)+………+an(其中 k 为 n 的二进制表示中从右往左数的 0 的个数)。

cn包含了从an向前数n-2k+1的a(即n的因子中的二次幂的a)

那么,如何求 2k 呢?求法如下:

int lowbit(int x)
{
     return x&(-x);    
}

 

lowbit()的返回值就是 2k 次方的值。

求出来 2k 之后,数组 c 的值就都出来了;

接下来我们要求数组中元素的和。

 

(二)当我们求(1, r)的区间和时,在上图看作是从cr对应的格子出发,不断向左上方移动的过程;统计遇到的每个格子,就能最终求出整个区间的和。(通过前面对cn规律的观察也不难证明)

实现我们利用的还是二进制,即将下标(r)按二进制拆分成几段来统计;

 

 

算法流程如下:

(1)首先,令sum=0,转向第二步;

(2)接下来判断,如果 n>0 的话(也就是左上角的红色格子没统计完,也即ci没有加完),就令sum=sum+ci转向第三步,否则的话,终止算法,返回 sum 的值;

(3)n=n – lowbit(n)(将n的二进制表示的最后一个零删掉),回第二步。

代码实现:

 

(三)当数组中的元素有变更时,树状数组就发挥它的优势了,算法如下(修改为给某个节点 i 加上 x /单点修改):

(1)当 i<=n 时,执行下一步;否则的话,算法结束;

(2)ci=ci+x ,i=i+lowbit(i)(在 i 的二进制表示的最后加零,即不断更新红色格子(ci)),返回第一步。

代码实现:

 
(树状数组的基础理论和实现就到此完满结束了)(撒花~❀) 
 

 

我们可以用树状数组解决什么问题?

基础问题:

  • 单点修改,区间询问: https://www.luogu.org/problem/P3374
  • 区间修改,单点询问: https://www.luogu.org/problem/P3368

树状数组和差分是好基友,   作为强大的区间数据结构,树状数组常常和差分一起解决问题;

--------------------------------------------------未完待续------------------------------------------------------------

posted @ 2019-10-05 20:42  QUEKI嶺冬  阅读(124)  评论(0编辑  收藏  举报
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