201800628模拟赛T2——最大土地面积

题目描述

在某块平面土地上有N个点，你可以选择其中的任意四个点，将这片土地围起来，当然，你希望这四个点围成的多边形面积最大。

输入输出格式

输入格式：

第1行一个正整数N，接下来N行，每行2个数x,y，表示该点的横坐标和纵坐标。

输出格式：

最大的多边形面积，答案精确到小数点后3位。

输入输出样例

输入样例#1：

5
0 0
1 0
1 1
0 1
0.5 0.5

输出样例#1：

1.000

说明

数据范围\(n\le 2000\)，\(|x|,|y|\le 100000\)。

题解

首先想到的当然是\(n^4\)大力枚举所有点，20分。

考虑优化，发现我们可以枚举一条边，再以该边为对角线求出左右两边的三角形最大值（我的方法是用叉积求出有向面积，找出最大值与最小值，减一下即可）30分。

考虑继续优化，我们发现四边形的四个顶点一定在凸包上，所以求先求凸包再枚举，50分。

五十分核心代码大致如下：

tubao();
double ans = 0.;
for(int i = 1; i <= m; ++i)
{
	for(int j = 1; j < i; ++j)
	{
		minn = inf;
		maxx = -inf;
		for(int k = 1; k <= m; ++k)
		{
			if(i == k || j == k)
				continue;
			double area = area2(P[sta[i]], P[sta[j]], P[sta[k]]);
			minn = min(minn, area);
			maxx = max(maxx, area);
		}
		if(minn < 0. && maxx > 0.)
			ans = max(maxx - minn, ans);
	}
}
printf("%.3f", ans / 2.);

我们又能发现对于一条边，如果它在凸包上且作为对角线，我们发现凸包上的一侧的点到该线段的距离是一个凸函数，所以我们考虑三分，复杂度\(O(n^2\log n)\)，听说卡一下常能过。

综上，我们发现我们整理已经整理出了一些性质，虽然都非常显而易见，但我们还没有把它们结合起来。

首先，凸包是肯定要求的。

受到之前的启发，我们仍然考虑枚举一条对角线，设现在枚举到的顶点为\(i, j\)。

设另两个点为\(a, b\)。我们先来看\(b\)。

首先，我们不难得出如果确定\(i,j\)，那\(b\)到\(ij\)的距离一定是单峰的。那如果\(j\)开始逆时针转动，峰显然也会逆时针转动（可以想象是整个凸包转过来了）。

于是我们让\(b\)逆时针跑就行了。

那\(a\)也同理。

我们发现\(b\)对每个点只扫了一遍，对于每个\(i\)复杂度\(O(n)\)，同理\(j,b\)都是，所以总复杂度\(O(n^2)\)。

核心代码如下：

tubao();
double ans = 0.;
for(int i = 1; i <= m; ++i)
{
	int a = i % m + 1;
	int b = (i + 2) % m + 1;
	for(int j = i % m + 2; j <= m; ++j)
	{
		while(a % m + 1 != j && area(P[sta[i]], P[sta[j]], P[sta[a%m+1]]) > area(P[sta[i]], P[sta[j]], P[sta[a]]))
			a = a % m + 1;
		while(b % m + 1 != i && area(P[sta[i]], P[sta[j]], P[sta[b%m+1]]) > area(P[sta[i]], P[sta[j]], P[sta[b]]))
			b = b % m + 1;
		ans = max(ans, area(P[sta[i]], P[sta[j]], P[sta[a]]) + area(P[sta[i]], P[sta[j]], P[sta[b]]));
	}
}
printf("%.3f", ans / 2.);