E. Modular Stability 解析(思維、數論、組合)

Codeforce 1359 E. Modular Stability 解析(思維、數論、組合)

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題目
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前言

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想法

首先我們觀察\(k=2\)的情況，因為總感覺只要兩個數字的情況明瞭了，應該不難推廣到\(k\)個數字的情況。
W.L.O.G. 假設\(1\le a_1<a_2\le n\)，那麼我們會有以下的式子：\(\forall x\in\mathbb{N}_{\ge0}, (x\%a_1)\%a_2=x\%a_1\textbf{=}(x\%a_2)\%a_1\)，也就是說\(x=u\cdot a_1+(x\%a_1)=y\cdot a_2+r\cdot a_1+(x\%a_1)\)(\(u,y,r\)是一些數字)。
我們猜想\(a_1|a_2\)，要證明這件事，首先假設\(a_1\not|a_2\)。並且由於\(x\)是任意非負整數，我們可以取\(x\)使得\(x\%a_1=0\)，也就是說\(x=u\cdot a_1=y\cdot a_2+r\cdot a_1\)，並且\(r\cdot a_1<a_2\)。然而由於\(x\)是任意的非負整數，\(u\)也就是任意的非負整數，所以說我們可以取\(u\)使得\(u\cdot a_1=y\cdot a_2+r\cdot a_1\)並且\((u+1)\cdot a_1=(y+1)\cdot a_2+r'\cdot a_1\)，兩式相減得到\((1-(r-r'))a_1=a_2\)，然而\(r,r'\in\mathbb{N}\)，因此和假設相矛盾，定理得證，\(a_1|a_2\)。
那麼接下來證明，假設\(a_1\)是裡面最小的數字，\(a_1|a_i\forall i\iff符合條件\)。
\((\Rightarrow):\)由於對於任何的取模排列，我們總是可以先對\(a_1\)取模(用到上面證明的\(k=2\)的情況)，因此得證。
\((\Leftarrow):\)假設\(a_1\not|a_j\)對於某個\(j\)，那麼\(x\%a_1\%a_j\%...\neq x\%a_j\%a_1\%...\)對於某個\(x\)。

因此我們只要先決定了\(a_1\)，接下來的數字都會是\(a_1\)的倍數，用組合數計算可能性即可。

程式碼:

const int _n=5e5+10;
int t,n,k,fac[_n],inv[_n];;
ll ans;
int C(int m,int n){
  if(m<n)return 0;
  if(m<mod and n<mod)return 1ll*fac[m]*inv[n]%mod*inv[m-n]%mod;
  return 1ll*C(m/mod,n/mod)*C(m%mod,n%mod)%mod;
}
void genInv(){
  fac[0]=1;rep(i,1,n+1)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;=
  inv[n]=powmod(fac[n],mod-2);per(i,0,n)inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
main(void) {ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
  cin>>n>>k;genInv();rep(i,1,n/k+1)ans=(ans+1ll*C(n/i-1,k-1))%mod;
  cout<<ans<<'\n';
  return 0;
}

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