C2. Power Transmission (Hard Edition) 解析(思維、幾何)

Codeforce 1163 C2. Power Transmission (Hard Edition) 解析(思維、幾何)

今天我們來看看CF1163C2
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題目
給一堆點，每兩個點會造成一個直線，求有多少個直線對相交。

前言

這題提供了一個表達直線的方法。

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想法

這題的難點其實是在於如何表達一條直線，且要認為用\(map\)不會超時(我也不懂為什麼最多會有\(10^6\)個不同的值但是不到\(1\)秒就跑完了)。
表達一個直線，我們從一般的直線表達式\(y=ax+b\)出發，目前\(a,b\)很有可能不是整數。我們把整個表達式乘上一個\(C\)，變成\(Cy=Cax+Cb\)，我們把\(Ca=A,Cb=B\)，也就是\(A,B,C\)是整數。
接著代入兩點，得到\(\frac{A}{C}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)。接下來，由於我們希望對於同一條直線，我們得到的\(A,B,C\)都是完全相同的，因此我們先令\(g=gcd(\frac{|\Delta y|}{|\Delta x|})\) where \(\Delta y=y_2-y_1,\Delta x=x_2-x_1\)，接著\(C=\frac{\Delta x}{g},A=\frac{\Delta y}{g}\)，之後再計算出\(B=\frac{x_1y_2-x_2y_1}{g}\)。
最後還需要

if(A<0)A=-A,C=-C,B=-B;if(A==0 and C<0)C=-C,B=-B;

我們要用兩個\(map\)分別紀錄\(\{A,C,B\}\)出現過了沒(當同樣的直線出現過時才能忽略)，和紀錄\(\{A,C\}\)出現了幾次(紀錄每種斜率的平行線段有多少個)。

接著只要遍歷所有出現過的斜率把答案加上即可。

程式碼:

const int _n=1010;
int t,n,x,y,g,A,B,C,cnt;
PII pts[_n];
struct L{
  int A,C,B;
  bool operator<(const L& rhs)const{
    if(A==rhs.A){
      if(B==rhs.B)return C<rhs.C;
      return B<rhs.B;
    }return A<rhs.A;
  }
};
map<L,int> mp;
map<PII,int> mp2;
main(void) {cin.tie(0);ios_base::sync_with_stdio(0);
  cin>>n;rep(i,1,n+1)cin>>pts[i].fi>>pts[i].se;
  rep(i,1,n)rep(j,i+1,n+1){
    x=pts[j].fi-pts[i].fi,y=pts[j].se-pts[i].se,g=__gcd(abs(x),abs(y));
    A=y/g,C=x/g,B=(pts[i].fi*pts[j].se-pts[j].fi*pts[i].se)/g;
    if(A<0)A=-A,C=-C,B=-B;if(A==0 and C<0)C=-C,B=-B;
    if(!mp[{A,C,B}]){
      mp[{A,C,B}]++,mp2[{A,C}]++,cnt++;
    }
  }ll ans=0;
  for(auto it=mp2.begin();it!=mp2.end();it++){
    A=it->fi.fi,C=it->fi.se;
    ans+=1ll*mp2[{A,C}]*(cnt-mp2[{A,C}]);
  }cout<<ans/2<<'\n';
  return 0;
}

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