[BZOJ]1010: [HNOI2008]玩具装箱toy——斜率优化动态规划——Update：2012年5月13日

[题目大意]

• 给定N个物品，可以连续的划分为若干个组，每个组的代价是（物品数-1+每个物品单独的代价-L）^2，求最小代价
  

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[分析题解]

•  朴素F[I]:=Min(F[J]+(J-I-1+Sum[I]-Sum[J]-L)^2)
• 当然会TLE
• 尝试着整理变形然后查看单调性，因为看到有人说可以把决策表打出来看看单调性，于是尝试了一下这个方法。随便学习了一下批处理的皮毛，以前写的对拍程序只能够手工一次一次对拍，现在终于能够写出一个更加自动化的程序来了

•  1 :loop
   2 B1010_MakeData
   3 B1010
   4 B1010_Check
   5 fc B1010_Check.out B1010.txt /a | find "no differences" > nul && goto :loop
   6 PAUSE
   7 
   8 ——————————割————————————
   9 :loop//标号
  10 B1010_MakeData//数据生成器
  11 B1010//朴素程序
  12 B1010_Check//对拍程序
  13 fc B1010_Check.out B1010.txt /a | find "no differences" > nul && goto :loop
  14 PAUSE
  15 "|"的作用是将前一个命令的返回值作为后一个程序的输入，第5句的作用是，如果fc程序返回的信息中没有"no differences"这个字串就跳出，否则返回标号loop.
  16 "&&"的作用是，如果前面的命令为真则执行后面

•  以后就不用盯着了，将PAUSE命令去掉之后就可以再任务栏中的图标消失后直接去查看.in找毛病了

• 然后我就生成了很多数据，用朴素程序将每一个决策点打印了出来，又用另外的一个程序来检测是不是单调，发现真的非常单调
  
• 这样尝试着能不能斜率优化
  

• 纠结了半天的题，不过总算完全弄明白斜率优化这思想了。
  
  DP方程不难想：
  DP[I]=MIN(DP[J]+(SUM[I]-SUM[J]+I-J-1-L)^2) ,J<I
  其中DP[I]表示处理到第I个玩具时最少的费用。
  
   
  
  直接来显然TLE，一维方程一般用斜率优化。
  
  
  先化简下方程：
  令F[I]=SUM[I]+I,C=1+L,则化为
  DP[I]=MIN(DP[J]+(F[I]-F[J]-C)^2)
  
   
  
   
  
  以下是用这方法的步骤：
  1.证明较优决策点对后续状态影响的持续性
  假设在状态I处,有两个决策点J,K(J<K),且决策K比决策J好,即
     DP[K]+(F[I]-F[K]-C)^2<=DP[J]+(F[I]-F[J]-C)^2
  则,对于状态I之后的某状态T,  F[T]=F[I]+V
  要证
  DP[K]+(F[T]-F[K]-C)^2<=DP[J]+(F[T]-F[J]-C)^2
  只需证
  DP[K]+(F[I]+V-F[K]-C)^2<=DP[J]+(F[I]+V-F[J]-C)^2
  只需证
  DP[K]+(F[I]-F[K]-C)^2+2*(F[I]-F[K]-C)*V+V^2<=DP[J]+(F[I]-F[J]-C)^2+2*(F[I]-F[J]-C)*V+V^2
  联系假设只需要证:
  2*(F[I]-F[K]-C)*V<=2*(F[I]-F[J]-C)*V
  即证:
  F[K]>=F[J]
  F[I]显然为增函数,且J<K,所以上式得证.
  
   
  
   
  
  2.求斜率方程:一般化为左边是J，K，右边是I的形式
  由DP[K]+(F[I]-F[K]-C)^2<=DP[J]+(F[I]-F[J]-C)^2
  展开得:
  DP[K]+F[I]^2-2*F[I]*(F[K]+C)+(F[K]+C)^2<=DP[J]+F[I]^2-2*F[I]*(F[J]+C)+(F[J]+C)^2
  即:
  DP[K]+(F[K]+C)^2-DP[J]-(F[J]+C)^2<=2*F[I]*(F[K]-F[J])
  即
  (DP[K]+(F[K]+C)^2-DP[J]-(F[J]+C)^2)/(2*(F[K]-F[J]))<=F[I]
  令
  G(K,J)=DP[K]+(F[K]+C)^2-DP[J]-(F[J]+C)^2
  S(K,J)=2*(F[K]-F[J])
  X(K,J)=G(K,J)/S(K,J)
  所以斜率方程为X(K,J)<=F[I]
  
   
  
  
  3.规定队列的维护规则
  队首维护:
      假设A,B(A<B)是队首元素,若X(B,A)<=F[I],则B比A好,删除A,否则不需维护.
  
  队尾维护:
      假设A,B,C(A<B<C)是队尾元素
  a.若X(B,A)<=F[I],且X(C,B)<=F[I],则C比B好,B比A好
  b.若X(B,A)<=F[I],且X(C,B)>F[I],则B比C好,B比A好,B为极大值
  c.若X(B,A)>F[I],A比B好
  
  a,c情况直接删掉B,b情况保留.b情况可改为X(B,A)<X(C,B)
  
   
  
  
  AC CODE：
  //[HNOI2008]玩具装箱toy       1180K 136MS 
  //地址:http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1010
  
  #include<iostream>
  #include<cstdio>
  #include<cstring>
  #include<algorithm>
  
  int MIN(int a,int b) { if( a<b )  return a;  else return b; }
  int MAX(int a,int b) { if( a>b )  return a;  else return b; }
  #define CLR(NAME,VALUE) memset(NAME,VALUE,sizeof(NAME))
  
  using namespace std;
  
  typedef __int64 LL;
  
  const int N=50000+10;
  
  LL f[N];
  LL dp[N];
  
  int q[N];
  
  
  LL G(int k,int j,int& c) { //在化简公式不小心把C的符号弄错了,调试了很久才发现...
   return dp[k]+(f[k]+c)*(f[k]+c)-dp[j]-(f[j]+c)*(f[j]+c);
  }
  
   
  
   
  
  LL S(int k,int j) {
   return 2*(f[k]-f[j]);
  }
  
  
  int main() {
    int n,l,c,i,j,x,y,z,tmp;
    while( scanf("%d%d",&n,&l)!=EOF ) {
     f[0]=0;
     for(i=1;i<=n;++i) {
      scanf("%d",&tmp);
      f[i]=f[i-1]+tmp;
     }
  
     for(i=1;i<=n;++i) {
      f[i]+=i;
     }
  
     c=1+l;
     dp[0]=0;
     int head=0,tail=0;
     q[tail++]=0;
     for(i=1;i<=n;++i) {
      while( head<tail-1 && G(q[head+1],q[head],c)<=f[i]*S(q[head+1],q[head]) ) {
       ++head;
      }
  
      x=q[head];
      dp[i]=dp[x]+(f[i]-f[x]-c)*(f[i]-f[x]-c);
  
               q[tail++]=i;
      for(j=tail-2;j>head;--j) {
       z=q[j+1];
       y=q[j];
       x=q[j-1];
  
       if( !(G(y,x,c)*S(z,y)<G(z,y,c)*S(y,x)) ) {
         q[j]=q[--tail];
       }
       else {
         break;
       }
      }
     }
  
     printf("%I64d\n",dp[n]);
    }
     
       return 0;
  }

• 斜率优化基本都是这么处理的
  
• 先备个案吧，回头再多复习复习
• 然后这个地方有各种各样的动归，也备个案，回头一并A掉

 [另外]

 Usaco练习组中有一道题目叫做fc，是一道关于凸包的问题，前一段时间我重新写了一遍，使用的文件输入，屏幕输出。今天在使用批处理的时候，发现fc命令不断的返回很多的数值，像是坐标一样，我找了很多的地方，都没有找到错误。最后才恍然大悟，是fc这个程序的问题。批处理在调用的时候，并没有调用Dos中的fc，而是在目录下调用了fc这个凸包程序。又因为使用了文件输入，屏幕输出，所以直接输出了凸包的坐标而没有提示要求输入。

有时候一个程序中某个子程序有问题的时候，不要只盯着这一个子程序看，问题也有可能出在其他地方。——调试程序须知

 

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[Update at 2012-5-13]

写了一下这个题目，但是对队尾的维护做了修改，没有使用三点测试，而是直接测试队尾元素与这次计算出的I元素对于I+1的优劣性。毫无疑问的WA了。于是考虑下为什么，说实话这是我第一次接触这种G/S的表示形式，以前我都是设一个(X,Y)，将一个决策点表示为一个坐标系里的点的，然后根据单调性维护凸包（《用单调性优化动态规划》）。但是我考虑了很久很久之后，明白了其中的原因，这种G/S本质上是于(X,Y)模式是一样的，其对队尾三个点的操作等价于维护凸包。想明白了这个我就彻底明白了这种G/S的表示形式，说实话，这样处理起来的确是更美观了一些。