题解-BJOI2019 光线
Problem
题意概要：给定 \(n\) 块玻璃，每块玻璃有其折射比例与反射比例（折射比例+反射比例 不一定为 \(100\%\)），求从最上头打下一束光，有多少比例的光可以完全穿越 \(n\) 块玻璃
\(n\leq 5\times 10^5\)
Solution
一眼线性高斯消元，但是我懒……物理题当然不要那么麻烦啦
由于考虑到这是物理模型，用物理思想考虑——合并玻璃
仅考虑合并两块玻璃，对于合并后的等价玻璃，需要算出其 从上往下与从下往上的反射透射率 共四个参数。但是我懒……由于不需要知道最上层玻璃 从上往下的反射率 与 从下往上的透射率，所以可以考虑每次合并最顶上的两块玻璃，只需要计算两个参数
从上往下透射率：
考虑到整体透射过去的光就是透射过第二块玻璃的光，而由于一部分光可能在两块玻璃间反射，所以透射过去的光分为无穷多段，但最终的总和是收敛的（设第一块玻璃透射率为 \(a_1\)，反射率为 \(b_1\)，第二块玻璃透射率为 \(a_2\)，反射率为 \(b_2\)）：
- 第一束光：\(a_1a_2\)（直接透过两块玻璃）
- 第二束光：\(a_1a_2b_1b_2\)（在两块玻璃间反射一个来回后透射出去）
- 第三束光：\(a_1a_2(b_1b_2)^2\)（反射两个来回）
- ……
求和为 \(\sum_{i=0}^{+\infty}a_1a_2(b_1b_2)^i=\frac {a_1a_2(1-(b_1b_2)^{+\infty})}{1-b_1b_2}\)
由于 \(b_1b_2<1\)
\[a'=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac {a_1a_2(1-(b_1b_2)^n)}{1-b_1b_2}=\frac {a_1a_2}{1-b_1b_2}
\]
从下往上反射率：
类似于上面的方法：
- 第一束光：\(b_2\)（直接反射）
- 第二束光：\(a_2^2b_1\)（在第一块玻璃反射一次，穿越两次第二块玻璃）
- 第三束光：\(a_2^2b_1^2b_2\)（在中间多一个反射来回）
求和：
\[b'=b_2+\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac {a_2^2b_1(1-(b_1b_2)^n)}{1-b_1b_2}=b_2+\frac {a_2^2b_1}{1-b_1b_2}
\]
从上到下合并所有玻璃后最后一块玻璃的透射率即为答案
Code
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
inline void read(int&x){
char c11=getchar();x=0;while(!isdigit(c11))c11=getchar();
while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();
}
const int p = 1e9+7, inv = 570000004;
inline int qpow(int A,int B) {
int res = 1;
while(B) {
if(B&1) res = (ll)A * res%p;
A = (ll)A * A%p, B >>= 1;
} return res;
}
int n, a1, a2, b1, b2, a, b, iv;
int main() {
read(n);
read(a1), a1 = (ll)a1 * inv%p;
read(b1), b1 = (ll)b1 * inv%p;
while(--n) {
read(a2), a2 = (ll)a2 * inv%p;
read(b2), b2 = (ll)b2 * inv%p;
iv = qpow(p+1 - (ll)b1 * b2%p, p-2);
a = (ll)a1 * a2%p * iv%p;
b = (b2 + (ll)a2 * a2%p * b1%p * iv)%p;
a1 = a, b1 = b;
}
printf("%d\n",a1);
return 0;
}
