秒懂循环群和格

一、循环群

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/68407532

在解释循环群之前，我默认你知道什么是代数系统，什么是半群，什么是群。

循环群的定义其实离不开循环两个字，想理解这两个字，不妨看一个例子。

我们看<Z6，+>中的元素{0,1,2,3,4,5}。取其中的元素1，不停地对自身进行模6加法，即对本身进行幂运算。

可得：

1^1=1

1^2=1+1=2

1^3=1+1+1=3

1^4=1+1+1+1=4

1^5=1+1+1+1+1=5

1^6=1+1+1+1+1+1=0（模6加法意义下）

1^7=1+1+1+1+1+1+1=1（模6加法意义下）

……

对1进行幂运算，就能得到该集合里的所有元素，然后不断循环。

我们称1为循环群<Z6，+>的生成元。

formal definition

若存在a∈G使得G=<a>,则称G是循环群，称a为G的生成元。

如果对其他元素不断求幂运算，我们可以得到：

元素0形成的结果只有0，可写成，结果集合为{0}，

元素2、4形成的结果是一样的，结果集合为{0,2,4}，

元素3形成的结果集合为{0,3}，

元素1、5形成的结果为{0,1,2,3,4,5}，

可以发现，1,5两个元素不断进行幂运算能够得到集合里的所有元素，我们称1,5位生成元。

并且，不同元素得到的结果相同，按照结果划分，并且称结果集合构成的群为子群。

关于做题：

有两个很重要的结论：

设循环群的阶数为n，循环群的一个生成元为a，小于等于n 且与n 互质的数依次为（x，y，z.....）

1. 小于等于n 且与n 互质的数的个数为生成元的个数，并且生成元为：a^x ,a^y, a^z ......

2. n的正因子个数数为子群个数，正因子数为子群长度

有一道很好的例题参考：https://blog.csdn.net/kindoms214/article/details/83051821?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-1.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromBaidu-1.control