生成函数学习笔记

对于数列\(a_0,a_1...,\)，我们定义它的普通生成函数为\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)

例题：有若干个物品\(l_1,l_2,l_3,...,l_m\)，每个物品都有任意多件，求取\(n\)件物品的总方案数。

考虑\(m\)个\((1+x+x^2+...)\)多项式相乘

\[(1+x+x^2+...)\times(1+x+x^2+x^3+...)\times...\times(1+x+x^2+...) \]

其中第\(i\)个多项式的\(x^j\)表示第\(i\)个物品选\(j\)个，这\(m\)个多项式相乘后，必然是：

\[a_0+a_1x+a_2x^2... \]

其中\(a_q\)表示取\(q\)件物品的方案数，所以求出\(a_n\)即可

怎么求呢？

因为\((1+x+x^2+...)\)是等比数列，我们考虑化简：

令\(S=1+x+x^2+x^3+...\)，则\(xS=x+x^2+x^3+x^4+...\)

因为有无限项，所以\((1-x)S=1\)，即\(S= \dfrac{1}{1-x}\)

\(m\)项相乘为\(\dfrac{1}{(1-x)^m}=(1-x)^{-m}\)

考虑广义二项式定理，则原式

又一个例题：

求有多少种不同的方案将\(n\)分解成若干个正整数之和

考虑\(x\)代表\(1\)，则可以考虑多项式相乘：

\((1+x+x^2+...)\times(1+x^2+x^4+...)\times(1+x^3+x^6+...)\times(1+x^4+x^8+...)\times...\)

第\(i\)个多项式的第\(j\)项表示第\(i\)个数取\(j-1\)次，计算出多项式的积后，每一项必然形如\(a_ix^i\)，表示将\(i\)分解成若干个正整数之和的方案数，求出\(a_n\)即可