试题分析（1）

期末真题大题类型总结(只需要掌握一个技巧：初等行变换！)

解矩阵方程(几乎必考)

要先把给你的关于矩阵\(X\)的式子\(f(X)\)化简\(X=\dots\)的形式，常用的性质：\(A^*=|A|A^{-1}\)，\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)，分块矩阵的逆也考察过

口诀：主不变，副对调，左乘同行，右乘同列，再添负号

\[\begin{bmatrix} A & O\\ O & B \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} A^{-1} & O\\ O & B^{-1} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} A & C\\ O & B \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ O & B^{-1} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} A & O\\ C & B \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} A^{-1} & O\\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{bmatrix} \]

\[\begin{bmatrix} O & A\\ B & O \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} O & B^{-1}\\ A^{-1} & O \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} C & A\\ B & O \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} O & B^{-1}\\ A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} O & A\\ B & C \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1}\\ A^{-1} & O \end{bmatrix} \]

【例一】设矩阵\(A=\)

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]

矩阵\(B\)满足：\([A^*]^{-1}BA^{-1}=2AB+12E\)，求矩阵\(B\)

【解析】\(A^*=|A|A^{-1}=A^{-1}\)，原式等价于\(ABA^{-1}-2AB=12E\Rightarrow AB(A^{-1}-2E)=12E \Rightarrow B=12A^{-1}(A^{-1}-2E)\)

要让\(()^{-1}\)尽可能少，用一步运算性质：\(B=12[(A^{-1}-2E)A]^{-1}=12(E-2A)^{-1}\)

\((E-2A)^{-1}=\)

\[\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -5 \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 5/3 & 2/3\\ 0 & -1/3 & -1/3 \end{bmatrix} \]

向量组(近几年不怎么考)

类型一 直接求

【例一】设\(\alpha_1=(1,2,3,4)^T,\alpha_2=(2,3,4,5)^T,\alpha_3=(3,4,5,6)^T,\alpha_4=(4,5,6,7)^T\)，求向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的极大无关组，并把其余向量用该极大无关组表示

【解析】\((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\to\)行阶梯\(\to\)行最简

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 5\\ 3 & 4 & 5 & 6\\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -1 & -2 & -3\\ 0 & -2 & -4 & -6\\ 0 & -3 & -6 & -9 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 2 & 4 & 6\\ 0 & 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}(2,3,4行成比例)\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

可知\(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=2\)，极大无关组为\(\alpha_1,\alpha_2\)，求表示最好先化行最简

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\ \]

易得\({\alpha_3 = -\alpha_1 + 2\alpha_2},{\alpha_4 = -2\alpha_1 + 3\alpha_2}\)

【tips】该操作的原理是行变换不改变列的相关关系

【例二】设矩阵\(A=\)

\[\begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1 & 2\\ -1&-2&-2&1 \end{bmatrix} \]

（1）求矩阵\(A\)的列向量组的极大无关组，并把其他向量用该极大无关组表示

（2）求矩阵\(A\)的一个分解式\(A=H_{3\times r}L_{r\times 4}\)，要求\(r(H)=r(L)=r(A)=2\)

【解析】

（1）\(A\to\)行阶梯\(\to\)行最简

\[\begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1 & 2\\ -1&-2&-2&1 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1/2 & 1/2\\ 1 & 2 & -1 & 2\\ -1&-2&-2&1 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & -3/2 & 3/2\\ 0&0&-3/2&3/2 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}\to \]

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} \]

所以极大无关组为\(\alpha_1,\alpha_3\)，线性表示为\(\alpha_2=2\alpha_1,\alpha_4=\alpha_1-\alpha_3\)

【tips】选取每一行的主元作为无关组的成员计算会比较简单

（2）利用第（1）问得到的线性表示，可以得到\(r(A)=2\)，不难猜想\(r=2\)

\[\begin{bmatrix} \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \alpha_1,\alpha_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \]

【tips】这里的\(2\to4\)的映射可能不那么好理解，因为\(n\ne m\)，多算几遍应该就能体会（）

类型二 带参数

【例三】已知\(\alpha_1=(1,0,1,2)^T,\alpha_2=(0,1,1,2)^T,\alpha_3=(-1,1,0,a-3)^T,\alpha_4=(1,2,a,7)^T,\alpha_5=(1,1,2,3)^T\)的秩为\(3\)。

（1）求\(a\)的值

（2）求出一个极大无关组，并且把其余向量由该极大无关组表示出来

【解析】

（1）依旧是标准流程

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0 & a & 2\\ 2 & 2 & a-3 & 7 & 3 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 & a-1 & 1\\ 0 & 2 & a-1 & 7-2a & 1 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & a-3 & 0\\ 0 & 0 & a-3 & 7-2a & -1 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & a-3 & 7-2a & -1\\ 0 & 0 & 0 & a-3 & 0 \end{bmatrix} \]

注意，这里不能直接用主元再化行最简，牢记：不可以用参数去消去实数！，先求出\(a\)，因为\(r(A)=3\)，所以\(a-3=0\)，即\(a=3\)

（2）化行最简求极大无关组

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

所以极大无关组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)，线性表示\(\alpha_3=-\alpha_1+\alpha_2,\alpha_5=2\alpha_1+3\alpha_2-\alpha_4\)

线性方程组(几乎必考)

类型一 带参数讨论解的存在情况

方程组解的情况：

1. 无解：\(r(A)<r(A,b)\)
2. 唯一解：\(r(A)=r(A,b)<n\)
3. 无穷解：\(r(A)=r(A,b)=n\)

【例一】设

\[A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ -1 & 1 & -3 \\ 2 & -1 & a \end{bmatrix},\beta= \begin{bmatrix} 1\\4\\b \end{bmatrix} \]

（1）求\(|A|\)

（2）当\(a,b\)为何值时，方程组\(Ax=\beta\)有唯一解，无解，无穷多解；无穷多解时求其通解

【解析】

（1）计算\(A\)的行列式，先把其中一行消成只有一个元素，计算会简单一些

\[|A|=\det\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ -1 & 1 & -3 \\ 2 & -1 & a \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & -5 & a \end{bmatrix}=3a-15=3(a-5) \]

（2）

①首先分析唯一解的情况，此时必有\(|A|\ne 0\)，即\(a\ne 5\)，又因为\(3=r(A)\le r(A,b)\le 3\)，所以\(r(A)=r(A,b)=3\)，有唯一解

②分析无解的情况，此时必有\(r(A)<3\)即\(a=5\)，对增广矩阵化行阶梯型

\[(A,b)=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & -3 & 4\\ 2 & -1 & 5&b \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 3 & -3 & 5\\ 0 & -5 & 5&b-2 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 3 & -3 & 5\\ 0 & -5 & 5&b+3 \end{bmatrix} \]

再继续化下去容易出错，不如这样分析，当最后两行成比例时，一定有解，反正，\(b+3\)一定不会为\(0\)

\[\frac{3}{-5}=\frac{-3}{5}=\frac{5}{b+3}\Rightarrow b=-\frac{19}{3} \]

所以\(b\ne -19/3\)时，方程组无解

③分析无穷多解的情况，由②可知\(a=5,b=-19/3\)，下面求通解

先求齐次方程的基础解系：

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\Rightarrow 基础解系\xi= \begin{bmatrix} -2\\1\\1 \end{bmatrix} \]

再求非齐次方程的特解

\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 3 & -3 & 5\\ 0 & 0 & 0&0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 5/3\\ 0 & 0 & 0&0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -7/3\\ 0 & 1 & -1 & 5/3\\ 0 & 0 & 0&0 \end{bmatrix}\Rightarrow特解\xi^*= \begin{bmatrix} -7/3\\ 5/3 \\0 \end{bmatrix} \]

所以通解为\(\xi^*+k\xi\)

【tips】 历年真题(试题13)的答案应该是给错了，矩阵的元素抄错了

【tips】 注意区分：求极大无关组表示的时候，是用主元所在列表示其他列；求线性方程组的时候，是赋其他列元素的值求主元

类型二 同解与公共解

类型一 公共解问题

法\(1\)：求方程\(Ax=c_1\)和\(Bx=c_2\)的公共解，就是求方程组\(\begin{bmatrix}A\\B \end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}c_1\\c_2 \end{bmatrix}\)的解

法\(2\)：已知两个齐次方程的基础解系\(\alpha_1,\dots,\alpha_s\)和\(\beta_1,\dots,\beta_t\)，则公共解\(\gamma\)可以设为\(\gamma=k_1\alpha_1+\dots+k_s\alpha_s=l_1\beta_1+\dots+l_t\beta_t\)(基础解系的性质)，然后令\(k_1\alpha_1+\dots+k_s\alpha_s-l_1\beta_1-\dots -l_t\beta_t=0\)，构造出另一个矩阵方程，求出\(k,l\)，进而求出\(\gamma\)

【例一】设四元齐次线性方程组\((\mathrm{I})\)为\(\begin{cases} x_1+x_2=0\\x_2-x_4=0\end{cases}\)，又知道另一个四元齐次线性方程组\((\mathrm{II})\)的基础解系是\(\beta_1=(0,1,1,0)^T,\beta_2=(-1,2,2,1)^T\)

（1）求方程组\((\mathrm I)\)的一个基础解系

（2）求方程组\((\mathrm{I})(\mathrm{II})\)的公共解

【解析】

（1）求基础解系\(A\to\)行阶梯\(\to\)行最简

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\Rightarrow基础解系\xi_1= \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\0 \\1 \end{bmatrix},\xi_2= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\1 \\0 \end{bmatrix} \]

（2）将两个方程的基础解系组成齐次方程的系数矩阵

\[(\xi_1,\xi_2,\beta_1,\beta_2)= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

该方程的基础解系为\(\xi=k\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1 \end{bmatrix}\)，于是\(\gamma=k(\xi_1+\xi_2)=k(\beta_2-\beta_1)=k\begin{bmatrix}-1\\1\\1\\1 \end{bmatrix}\)

【例二】已知四元齐次线性方程组\((\mathrm{I})(\mathrm{II})\)的基础解系分别为\((\mathrm{I})\alpha_1=(5,-3,1,0)^T,\alpha_2=(-3,2,0,1)^T\)和\((\mathrm{II})\beta_1=(2,-1,a+2,1)^T,\beta_2=(-1,2,4,a+8)^T\)，求方程组\((\mathrm{I})(\mathrm{II})\)的非零公共解

【解析】同上题一样，将基础解系组成系数矩阵解齐次方程\((\alpha_1,\alpha_2,-\beta_1,-\beta_2)=\)

\[\begin{bmatrix} 5 & -3 & -2 & 1\\ -3 & 2 & 1 & -2\\ 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ -3 & 2 & 1 & -2\\ 5 & -3 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -a-8 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 2 & -3a-5 & -14\\ 0 & -3 & 5+8 & 21\\ 0 & 1 & -1 & -a-8 \end{bmatrix}\to \]

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8\\ 0 & -3 & 5a+8 & 21\\ 0 & 2 & -3a-5 & -14 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -a-2 & -4\\ 0 & 1 & -1 & -a-8\\ 0 & 0 & 5a+5 & -3a-3\\ 0 & 0 & -3a-3 & 2a+2 \end{bmatrix} \]

该方程一定有非零解，故\(\det=0\)，所以\(a=-1\)，原方程系数矩阵变为

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 1 & -1 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\Rightarrow通解\xi= \begin{bmatrix} t+4u\\ t+7u\\ t\\ u\\ \end{bmatrix}(令x_3=t,x_4=u) \]

所以\(\gamma=(t+4u)\alpha_1+(t+7u)\alpha=t\beta_1+u\beta_2\)

【tips】关于\(\beta\)的正负，都是可以的，只是最后解\(\gamma\)的时候不一样，得到的答案是一样的

【tips】例二采用设\(k\)法解出方程通解，而不是先求基础解系，这样比较好表示\(\gamma\)

【例三】设四元齐次线性方程组

\[(\mathrm{I}):\begin{cases} x_1+x_2=0\\ x_2-x_4=0 \end{cases}, (\mathrm{II}):\begin{cases} x_1-x_2+x_3=0\\ x_2-x_3+ax_4=0 \end{cases} \]

当\(a\)为何值时，这两个方程组有非零公共解，并求之

【解析】求解两个已知方程组的公共解，只需要联立方程组即可

\[\begin{bmatrix} I\\II \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & a \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & a \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & -1 & a+1 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & a-1 \end{bmatrix} \]

该方程要有非零公共解，则\(a-1=0\)即\(a=1\)，继续化行最简

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\Rightarrow基础解系\xi= \begin{bmatrix} -1\\1\\2\\1 \end{bmatrix} \]

所以非零公共解为\(k\begin{bmatrix} -1\\1\\2\\1 \end{bmatrix}\)

类型二 同解问题

真题没考过（证明题除外），但考研考察过，有机会再写吧

特征值与特征向量（几乎必考）

小题主要考察相似四同（上文有：矩阵关系——相似关系），大题则几乎全部结合二次型考察

正交变换化标准型

流程为二次型矩阵\(A\to\)解特征值\(|\lambda E-A|=0\to\)求\(\lambda\)对应的特征值\(\xi\to\)正交化，单位化特征值\(\eta\)

最后\(\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_i)\)为标准型的矩阵，可逆矩阵\(\eta_i\)为变换矩阵

【例一】设二次型

\[f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+4x_3^2+4x_1x_3+4x_2x_3 \]

用正交变换将二次型\(f\)化为标准型，并写出正交变换矩阵

【解析】没有技巧，全是计算，二次型矩阵

\[\begin{bmatrix} 2&0&2\\ 0&2&2\\ 2&2&4 \end{bmatrix} \]

特征多项式\(|\lambda E-A|=\)

\[\det\begin{bmatrix} \lambda-2 & 0 & -2\\ 0 & \lambda-2 & -2\\ -2 & -2 & \lambda-4 \end{bmatrix}=(\lambda-2)\det \begin{bmatrix} \lambda-2 & -2\\ -2 &\lambda-4 \end{bmatrix}+ (-2)\det \begin{bmatrix} 0 & \lambda-2\\ -2 & -2 \end{bmatrix} \]

\[=(\lambda-2)[(\lambda-2)(\lambda-4)-4]-4(\lambda-2)=\lambda(\lambda-2)(\lambda-6)=0 \]

①\(\lambda=0\)时，解方程\(Ax=0\)

\[\begin{bmatrix} 2&0&2\\ 0&2&2\\ 2&2&4 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 1&1&2 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 0&1&1 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 0&0&0 \end{bmatrix}\Rightarrow 基础解系\xi_1=(1,1,-1)^T \]

②\(\lambda=2\)时，解方程\((2E-A)x=0\)

\[\begin{bmatrix} 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & -2\\ -2 & -2 & -2 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\to基础解系\xi_2=(1,-1,0)^T \]

③\(\lambda=6\)时，解方程\((6E-A)x=0\)

\[\begin{bmatrix} 4 & 0 & -2\\ 0 & 4 & -2\\ -2 & -2 & 2 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1\\ 0 & 2 & -1\\ -2 & -2 & 2 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1\\ 0 & 2 & -1\\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1\\ 0 & 2 & -1\\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix}\Rightarrow 基础解系\xi_3=(1,1,2)^T \]

单位化\(\eta_1=\xi_1/\sqrt{3},\eta_2=\xi_2/\sqrt{2},\eta_3=\xi_3/\sqrt{6}\)，正交变换矩阵\(Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)\)

标准型：\(f=2y_1^2+6y_2^2+0y_3^2\)

【tips】 这种题计算极为繁琐，从解特征多项式到求特征向量，有时甚至还要施密特正交化，注意熟练度的训练

【例二】设\(b>0\)，二次型

\[f(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2+2x_2^2-2x_3^2+2bx_1x_3 \]

对应矩阵的特征值之和为\(1\)，特征值之积为\(-12\)

（1）求参数\(a,b\)的值

（2）求此二次型矩阵对应的特征值

（3）方程\(f(x_1,x_2,x_3)=1\)在几何上表示什么曲面

【解析】

（1）二次型对应的矩阵\(A=\)

\[\begin{bmatrix} a & 0 & b\\ 0 & 2 & 0\\ b & 0 & -2 \end{bmatrix} \]

矩阵\(A\)的行列式\(|A|=-4a-2b^2=\Pi\lambda_i=-12\)

矩阵\(A\)的迹\(\tr(A)=a=\sum\lambda_i=1\)

解得

\[a=1,b=2(负值舍去) \]

（2）特征方程\(|\lambda E-A|=\)

\[\det\begin{bmatrix} \lambda-1 & 0 &-2\\ 0 & \lambda-2 & 0\\ -2 & 0 & \lambda-2 \end{bmatrix}= (\lambda-2)^2(\lambda-3) \]

所以\(A\)的特征值为\(2,2,3\)

（3）方程\(2x^2+2y^2-3z^2=1\)表示单页双曲面(高数内容，自行回顾)