专题 线性方程组

线性方程组解的结构

设系数矩阵\(A\in F^{m\times n}\)，讨论齐次方程和非齐次方程解的结构

齐次方程\(Ax=0\)

有非零解的等价命题

1. \(r(A)<n\)
2. \(A\)的列向量线性相关
3. \(|A|=0\)

推论 \(m<n\)时，齐次线性方程必然有非零解

证明：\(r(A)<\min\{m,n\}=m<n\)，所以有非零解

基础解系 基础解系的向量的个数为\(n-r(A)\)个

非齐次方程\(Ax=b\)

无解的等价命题

\(r(A) \ne r(A,b)\)

有唯一解的等价命题

\(r(A)=r(A,b)=n\)

有无穷多解的等价命题

\(r(A)=r(A,b)<n\)

求解方法

1. 对增广矩阵\((A,b)\)做初等行变换变成行阶梯型
2. 求\(Ax=0\)的一个基础解系
3. 求\(Ax=b\)的一个特解
4. 写出通解(有的话)

方程组的同解

方程组\(Ax=0\)和\(Bx=0\)同解的等价命题

1. \(r(A)=r(B)\)且\(Ax=0\)的解全是\(Bx=0\)的解
2. \(r(A)=r(B)=r(\begin{matrix}A \\B \end{matrix})\)
3. 矩阵\(A\)和\(B\)的行向量组等价

说明：可以这样理解，\(Px=0\)的解空间是与\(P\)的行空间正交的向量所张成的空间