专题 矩阵的关系

矩阵的关系

等价关系

设矩阵\(A,B\in F^{n\times n}\)，存在可逆矩阵\(P,Q\)，使得\(PAQ=B\)，则称\(A\)和\(B\)等价

相似关系

设矩阵\(A,B\in F^{n\times n}\)，存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，则称\(A\)和\(B\)相似

相似的性质

1. \(|A|=|B|\)，\(r(A)=r(B)\)，\(\lambda_A=\lambda_B\)，\(\tr(A)=\tr(B)\)
2. \(f(A)\)和\(f(B)\)相似，\(A^{-1},A^*,A^T\)和\(B^{-1}.B^*,B^T\)相似

对角化\(P^{-1}AP=\Lambda\)的相关问题

设矩阵\(A\in F^{n\times n}\)，则\(A\)对角化的步骤为

1. 利用\(|\lambda E-A|=0\)求出特征值\(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)

2. 求出特征值\(\lambda_i\)对应的基础解系，求出\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)

3. 利用\(A(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=(A\alpha_1,\dots,A\alpha_n)=(\lambda_1\alpha_1,\dots,\lambda_n\alpha_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n) \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)

   得出可逆矩阵\(P\)为\((\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)，对角阵\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)

\(n\)阶方阵可对角化的充要条件

设\(A\in F^{n\times n}\)，则\(A\)可对角化等价于\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量

推论：非零特征值的个数等于矩阵的秩

\(n\)阶实对称矩阵的对角化

\(n\)阶实对称矩阵必然可以对角化，且存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda\)

相合关系

设矩阵\(A,B\in F^{n\times n}\)，存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，则称\(A\)和\(B\)相合

注意：相似\(\neq\)相合，既相似又相合，称为正交相似

相合变换求二次型标准型的相关问题

设二次型\(x^TAx\)的矩阵\(A\in F^{n\times n}\)，则二次型化标准型的步骤为

1. 利用\(|\lambda E-A|=0\)求出特征值\(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)
2. 求出特征值\(\lambda_i\)对应的基础解系，求出\(\alpha_1,\dots,\alpha_n\)，然后正交化、单位化求出\(\gamma_1,\dots,\gamma_n\)
3. 利用\(A(\gamma_1,\dots,\gamma_n)=(A\gamma_1,\dots,A\gamma_n)=(\gamma_1,\dots,\gamma_n)\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)，可以得到可逆矩阵为\(P=(\gamma_1,\dots,\gamma_n)\)，同时\(P\)也为正交矩阵，此时的对角阵\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)，有\(A=P\Lambda P^{-1}=P\Lambda P^T\)，所以二次型变为\(f=x^TP\Lambda P^Tx\)，令\(y=P^{-1}x\)即可得到标准型

注意：这里做变换\(x=Py\)的变换矩阵\(P\)为正交矩阵，能够保证对角阵的元素唯一且为特征值，如果\(P^{-1}\neq P^T\)，也可以完成对角化，只不过对角元素就不再是特征值