幂

一、相关介绍

幂（power）是指乘方运算的结果。\(n^m\)指该式意义为m个n相乘。把\(n^m\)看作乘方的结果，叫做n的m次幂，也叫n的m次方。

数学中的“幂”，是“幂”这个字面意思的引申，“幂”原指盖东西布巾，数学中“幂”是乘方的结果，而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，故这就像在一个数上“盖上了一头巾”，在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长含义，形式上也很契合，所以叫做幂。

幂不符合结合律和交换律。

因为十的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。

二、定义

幂指乘方运算的结果。\(n^m\)指\(m\)个\(n\)相乘。把\(n^m\)看作乘方的结果，叫做\(n\)的\(m\)次幂。

其中，\(n\)称为底数，\(m\)称为指数（写成上标）。当不能用上标时，例如在编程语言或电子邮件中，通常写成\(n^m\)或\(n**m\)，亦可以用高德纳箭号表示法，写成\(n↑m\)，读作“\(n\)的\(m\)次方”或者\(n\)的\(m\)次幂。

当指数为\(1\)时，通常不写出来，因为那和底的数值一样；指数为\(2、3\)时，可以读作“\(n\)的平方”、“\(n\)的立方”。

\(n^0=1\)

幂的指数是负数时，等于\(\frac{1}{n^m}\)

分数为指数的幂定义为\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)。

证：

令 (\(a^m\)) 开\(n\)次方 = \(b\)

　　两边取\(n\)次方，有

　　\(a^m = b^n\)

　　\(a^{\frac{m}{n}}= a^{m(\frac{1}{n})} = (b^n)^{(\frac{1}{n})} = b = a^m\)开\(n\)次方

　　即\(a^{\frac{m}{n}} = (a^m)\)开\(n\)次方

幂不符合结合律和交换律。

三、大小比较法

计算比较法

先通过幂的计算，然后根据结果的大小，来进行比较的。

底数比较法

在指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小。

指数比较法

在底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。

求差比较法

将两个幂相减，根据其差与0的比较情况，来确定两个幂的大小。

求商比较法

将两个幂相除，然后通过商与1的大小关系，比较两个幂的大小。

乘方比较法

将两个幂乘方后化为同指数幂，通过进行比较结果，来确定两个幂的大小。

定值比较法

通过选一个与两个幂中一个幂相接近的幂作定值，然后用两个幂与所选取的定值相比较，由此来确定两个幂的大小。