树状数组
先来看几个问题吧。
1.什么是树状数组？
顾名思义，就是用数组来模拟树形结构呗。那么衍生出一个问题，为什么不直接建树？答案是没必要，因为树状数组能处理的问题就没必要建树。和\(Trie\)树的构造方式有类似之处。
2.树状数组可以解决什么问题
可以解决大部分基于区间上的更新以及求和问题。
3.树状数组和线段树的区别在哪里
树状数组可以解决的问题都可以用线段树解决，这两者的区别在哪里呢？树状数组的系数要少很多，就比如字符串模拟大数可以解决大数问题，也可以解决\(1+1\)的问题，但没人会在\(1+1\)的问题上用大数模拟。
4.树状数组的优点和缺点
修改和查询的复杂度都是\(O(logN)\)，而且相比线段树系数要少很多，比传统数组要快，而且容易写。
缺点是遇到复杂的区间问题还是不能解决，功能还是有限。
一、树状数组介绍
二叉树大家一定都知道，如下图
每个位置只有一个方框，令每个位置存的就是子节点的值的和，则有
\(C[1] = A[1];\)
\(C[2] = A[1] + A[2];\)
\(C[3] = A[3];\)
\(C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];\)
\(C[5] = A[5];\)
\(C[6] = A[5] + A[6];\)
\(C[7] = A[7];\)
\(C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];\)
可以发现，这颗树是有规律的。
\(C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + ... + A[i];\) //k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度
例如i = 8(1000)时候，k = 3，可自行验证。
这个怎么实现求和呢，比如我们要找前7项和，那么应该是\(SUM = C[7] + C[6] + C[4];\)
而根据上面的式子，容易的出\(SUM_i= C[i] + C[i-2^{k1}]+C[(i - 2^{k1}) - 2^{k2}]+ .....;\)
其实树状数组就是一个二进制上面的应用。
现在新的问题来了\(2^k\)该怎么求呢，不难得出\(2^k = i\)\(&\)\((i^{i-1});\)但这个还是不好求出呀，前辈的智慧就出来了，\(2^k\) = i\(&\)\((-i);\)
为什么呢？
这里利用的负数的存储特性，负数是以补码存储的，对于整数运算 \(x\)\(&\)\((-x)\)有
●\(当x为0时，即0&0，结果为0；\)
●当\(x\)为奇数时，最后一个比特位为1，取反加1没有进位，故\(x\)和\(-x\)除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为\(0\)。结果为\(1\)。
●当\(x\)为偶数，且为\(2\)的m次方时，x的二进制表示中只有一位是1（从右往左的第m+1位），其右边有m位0，故x取反加1后，从右到左第有m个0，第m+1位及其左边全是1。这样，x& (-x) 得到的就是x。
●当x为偶数，却不为2的m次方的形式时，可以写作x= y * (\(2^k\))。其中，y的最低位为1。实际上就是把x用一个奇数左移k位来表示。这时，x的二进制表示最右边有k个0，从右往左第k+1位为1。当对x取反时，最右边的k位0变成1，第k+1位变为0；再加1，最右边的k位就又变成了0，第k+1位因为进位的关系变成了1。左边的位因为没有进位，正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第k+1位上为1，左边右边都为0。结果为\(2^k\)。
总结一下：x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。
而且这个有一个专门的称呼，叫做\(lowbit\)，即取\(2^k\)。
二、如何建立树状数组
上面已经解释了如何用树状数组求区间和，那么如果我们要更新某一个点的值呢，还是一样的，上面说了\(C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + ... + A[i]，\)那么如果我们更新某个\(A[i]\)的值，则会影响到所有包含有\(A[i]\)位置。如果求\(A[i]\)包含哪些位置里呢，同理有
$A[i] $包含于 \(C[i + 2^k]、C[(i + 2^k) + 2^k]...；\)
好，现在已经搞清楚了更新和求和，就可以来建树状数组了。如果上面的求和、更新或者lowbit步骤还没搞懂的化，建议再思考弄懂再往下看。
那么构造一个树状数组则为
int n;
int a[1005],c[1005]; //对应原数组和树状数组
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
void updata(int i,int k){ //在i位置加上k
while(i <= n){
c[i] += k;
i += lowbit(i);
}
}
int getsum(int i){ //求A[1 - i]的和
int res = 0;
while(i > 0){
res += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return res;
}
这样就构造了一个树状数组。下面看一道模板题目吧。
题目链接：https://vjudge.net/problem/HDU-1166
直接看代码吧
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int a[50005],c[50005]; //对应原数组和树状数组
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
void updata(int i,int k){ //在i位置加上k
while(i <= n){
c[i] += k;
i += lowbit(i);
}
}
int getsum(int i){ //求A[1 - i]的和
int res = 0;
while(i > 0){
res += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return res;
}
int main(){
int t;
cin>>t;
for(int tot = 1; tot <= t; tot++){
cout << "Case " << tot << ":" << endl;
memset(a, 0, sizeof a);
memset(c, 0, sizeof c);
cin>>n;
for(int i = 1; i <= n; i++){
cin>>a[i];
updata(i,a[i]); //输入初值的时候，也相当于更新了值
}
string s;
int x,y;
while(cin>>s && s[0] != 'E'){
cin>>x>>y;
if(s[0] == 'Q'){ //求和操作
int sum = getsum(y) - getsum(x-1); //x-y区间和也就等于1-y区间和减去1-(x-1)区间和
cout << sum << endl;
}
else if(s[0] == 'A'){
updata(x,y);
}
else if(s[0] == 'S'){
updata(x,-y); //减去操作，即为加上相反数
}
}
}
return 0;
}
这就是最简单的点更新区间求和了。
三、树状数组的几种变式(区间更新，区间查询)
上面介绍的是最普通的单点更新，区间查询，但如果有些时候是区间更新，单点求和怎么半，又或是区间更新，区间求和怎么办。这里将介绍各种情况该怎么写。
如果上面的单点更新，区间查询还没看懂，建议再思考再往下看。
1.单点更新、单点查询
传统数组可做
2.单点更新、区间查询
已讲解，详细看上面
3.区间更新、单点查询
这就是第一个问题，如果题目是让你把x-y区间内的所有值全部加上k或者减去k，然后查询操作是问某个点的值，这种时候该怎么做呢。如果是像上面的树状数组来说，就必须把x-y区间内每个值都更新，这样的复杂度肯定是不行的，这个时候，就不能再用数据的值建树了，这里我们引入差分，利用差分建树。
假设我们规定\(A[0] = 0;\)
则有 \(A[i] = Σij = 1D[j];(D[j] = A[j] - A[j-1])，\)即前面i项的差值和，这个有什么用呢？例如对于下面这个数组
\(A[] = 1 2 3 5 6 9\)
\(D[] = 1 1 1 2 1 3\)
如果我们把[2,5]区间内值加上2，则变成了
\(A[] = 1 4 5 7 8 9\)
\(D[] = 1 3 1 2 1 1\)
发现了没有，当某个区间\([x,y]\)值改变了，区间内的差值是不变的，只有\(D[x]\)和\(D[y+1]\)的值发生改变，至于为什么我想我就不用解释了吧。
所以我们就可以利用这个性质对\(D[]\)数组建立树状数组，代码为：
1 int n,m;
2 int a[50005] = {0},c[50005]; //对应原数组和树状数组
3
4 int lowbit(int x){
5 return x&(-x);
6 }
7
8 void updata(int i,int k){ //在i位置加上k
9 while(i <= n){
10 c[i] += k;
11 i += lowbit(i);
12 }
13 }
14
15 int getsum(int i){ //求D[1 - i]的和，即A[i]值
16 int res = 0;
17 while(i > 0){
18 res += c[i];
19 i -= lowbit(i);
20 }
21 return res;
22 }
23
24 int main(){
25 cin>>n;27 for(int i = 1; i <= n; i++){
28 cin>>a[i];
29 updata(i,a[i] - a[i-1]); //输入初值的时候，也相当于更新了值
31 }
32
33 //[x,y]区间内加上k
34 updata(x,k); //A[x] - A[x-1]增加k
35 updata(y+1,-k); //A[y+1] - A[y]减少k
36
37 //查询i位置的值
38 int sum = getsum(i);
39
40 return 0;
41 }
这样就把，原来要更新一个区间的值变成了只需要更新两个点。也很容易理解吧。
4.区间更新、区间查询
上面我们说的差值建树状数组，得到的是某个点的值，那如果我既要区间更新，又要区间查询怎么办。这里我们还是利用差分，由上面可知
\(∑ni = 1A[i] = ∑ni = 1 ∑ij = 1D[j];\)
则\(A[1]+A[2]+...+A[n]\)
$= (D[1]) + (D[1]+D[2]) + ... + (D[1]+D[2]+...+D[n]) $
\(= n*D[1] + (n-1)*D[2] +... +D[n]\)
\(= n * (D[1]+D[2]+...+D[n]) - (0*D[1]+1*D[2]+...+(n-1)*D[n])\)
所以上式可以变为\(∑ni = 1A[i] = n*∑ni = 1D[i] - ∑ni = 1( D[i]*(i-1) );\)
如果你理解前面的都比较轻松的话，这里也就知道要干嘛了，维护两个数状数组\(，sum1[i] = D[i]，sum2[i] = D[i]*(i-1);\)
int n,m;
int a[50005] = {0};
int sum1[50005]; //(D[1] + D[2] + ... + D[n])
int sum2[50005]; //(1*D[1] + 2*D[2] + ... + n*D[n])
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
void updata(int i,int k){
int x = i; //因为x不变，所以得先保存i值
while(i <= n){
sum1[i] += k;
sum2[i] += k * (x-1);
i += lowbit(i);
}
}
int getsum(int i){ //求前缀和
int res = 0, x = i;
while(i > 0){
res += x * sum1[i] - sum2[i];
i -= lowbit(i);
}
return res;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i = 1; i <= n; i++){
cin>>a[i];
updata(i,a[i] - a[i-1]); //输入初值的时候，也相当于更新了值
}
//[x,y]区间内加上k
updata(x,k); //A[x] - A[x-1]增加k
updata(y+1,-k); //A[y+1] - A[y]减少k
//求[x,y]区间和
int sum = getsum(y) - getsum(x-1);
return 0;
}
再附赠两道模板题目，可以自行写一下以便理解
PS：这里大致归纳了一维树状数组的所有要使用到的东西，二维建树以及更多变式就不说了，具体问题再具体分析。
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