编程之美-2.8-找符合条件的整数

1. 简述

    任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M（M>1），使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0。
    比如N=99时，M=1 122 334 455 667 789，N * M=111 111 111 111 111 111。

2. 思路

    实际上两个思路，一个就是给N，遍历M，判断N*M是否满足条件的数值；另一个就是给N，遍历满足条件的数值，判断数值能否被N整除。根据样例数据发现，N=99时，第一个方法的复杂度为：M=1 122 334 455 667 789，第二个方法的复杂度为2^15=32 * 1024。即由0和1组成的数值实际上是十分稀疏的，从这边遍历更快。这一点与编程之美上面3.2节中的电话号码和英文单词对应很类似，即电话号码的组合是非常巨大的，但是英文单词是很有限的。

    在遍历只有0或者只有1的数值的过程中，假设目标结果有k位，那么最多需要遍历2^k个数字，实际上还可以进一步简化，比如对于123，123 = 100 + 23即123%N=100%N + 23%N。假设当前已经计算了个位数和十位数的情况，那么可以保持个位数和十位数对N的那些可能余数，对于百位数对N的余数，必然在(100%N+前面计算过的余数)%N的范围内，如果有新的余数产生，更新余数即可。保存余数的时候，记录该余数的最小数值即可。这样假设目标结果有k位，那么计算复杂度就是k(N-1)。

3. 代码

#include<iostream>
using namespace std;

int find_M(int N) {
  // 边界条件 
  if(N == 1)
    return 1;
  // 初始化余数数组 
  int *A = new int[N]; // 记录已有的余数，A[i]表示对N的余数为i的最小满足条件的数值
  int *B = new int[N]; // 记录更新的余数
  memset(A, -1, N*sizeof(int));
  A[1] = 1;
  // 寻找过程 
  int factor = 10;
  bool not_found = true;
  while(not_found) {
    memset(B, -1, N*sizeof(int));
    int x = factor % N; // 高位数值对N的余数
    // 高位数值 + 0 的情况 
    if(A[x] == -1) {
      B[x] = factor;
      if(x == 0)
        break;
    }
    // 高位数值 + 低位正整数的情况 
    for(int i=1; i<N; i++) { // 遍历每个可能的余数
      if(A[i] == -1)
        continue;
      int new_x = (x + i) % N; // 计算出的余数
      if(A[new_x] == -1 && B[new_x] == -1) { // 如果是一个新的余数，保存
        B[new_x] = factor + A[i]; 
        if(new_x == 0) { // 刚好找到的新的余数是0 
          not_found = false;
          break;
        }// if         
      }// if      
    }//for
    factor *= 10;
    for(int i=0; i<N; i++) {
      if(A[i]==-1 && B[i]!=-1) {
        A[i] = B[i];
      }
    }
  }// while
  int result = B[0];
  delete[] A;
  delete[] B;
  return result;
}

int main() {
  int N;
  while(true) {
    cout << "N：";
    cin >> N;
    if(N < 1)
      break;
    cout << "M：" << find_M(N)/N << endl;
    cout << "正整数为：" << find_M(N)/N*N << endl;
  }
  system("PAUSE");
  return 0;
}

    注意：代码中之所以用了两个余数数组，是为了计算出高位的所有的新的余数，然后一起保存，如果一个一个的计算，那么高位会受到自身的影响。比如：假设当前计算百位，假设101被保存在A[7]，当前计算到A[2]，那么在计算100+A[7]的时候，实际上算的数值就是100+101=201是非法字符，因此，每次计算出的要一次性的保存下去。另外需要注意，对于0每次单独处理，即10+0,100+0的情况。

    结果输出为：
   

4. 编程之美的代码

    上面的代码是看了基本想法写的，然后又看了下书上的代码，发现还是书上的精髓一些，书上代码更优的地方有如下几个：第一，如果N*M数字很大，int存不下的，书上用队列记录数值中1的位置，比如对于1，记录0，对于1110011，记录01456即可。第二，每个循环节，如果没有新的余数出现，说明永远找不到满足条件的M。这个怎么证明，还没太想清楚。此外，书中代码也考虑了对高位+0和高位+低位两种情况，以及高位一次性保存的问题，不过书中代码更优雅一些。

5. 参考

    编程之美，2.8节，找符合条件的整数