2019暑期金华集训 Day2 线性代数

自闭集训 Day2

线性代数

高斯消元

做实数时,需要找绝对值最大的作为主元,以获取更高精度。

在欧几里得环(简单例子是模合数)意义下也是对的。比如模合数意义下可以使用辗转相除法消元。

欧几里得环:对于任意\(a,b\),都可以定义\(a=qb+r\ \ (|r|<b)\),于是可以辗转相除。(显然,多项式环也是欧几里得环)

逆矩阵

方法与高斯消元类似,左边摆一个原矩阵,右边摆一个单位矩阵,高斯消元的过程中左边的行操作都在右边同样做一遍。最后左边剩下一个单位矩阵,右边就是逆矩阵。

对于方程\(Ax=b​\),如果\(A​\)存在逆矩阵,那么\(x=A^{-1}b​\)。对于有多个\(b​\)询问的时候可以\(O(n^2)​\)做每一个询问。

CF446D

假设起点固定,设\(g_i​\)表示经过\(i​\)号点的期望次数,很容易列出方程,所以可以做到\(O(n^4)​\)

注意方程的形式是

\[g_i=\sum_j p_{j,i}g_j+[i=S] \]

前面一片都总是一样的,只要\([i=S]​\)每次变化。这类似于一个\(Ax=b​\)的多组询问的形式,可以先求出\(A^{-1}​\)然后每次乘上向量就可以得到答案。

总复杂度\(O(n^3)​\)

矩阵快速幂

多次询问\(A^n b​\),每次\(n,b​\)不同。

可以预处理\(A^{2^k}​\),每次回答的时候只乘\(b​\),可以做到\(m^3\log n+qm^2\log n​\)

行列式

\(M_{i,j}​\)表示去掉\(i​\)\(j​\)列之后的矩阵行列式。(余子式)

\(c_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}​\):代数余子式。

\(\det(A)=\sum_i a_{i,j} c_{i,j}\),即按行展开。(按列展开也是对的)

\(\det(A^T)=\det(A)​\)

\(\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(BA)​\)

行列式的几何意义:向量在\(d​\)维空间中围成的平行X面体(单纯形?)体积,所以围成的类似于棱锥的体积等于\(\frac 1 {d!}\det(A)​\)

推论:方程组

\[\begin{cases} x_1\ge 0\\ x_2\ge 0\\ \cdots\\ x_d\ge 0\\ \sum x_i\le S \end{cases} \]

的体积是\(\frac{s^d}{d!}​\)

THUPC2017 E

通过行列式,我们可以快速算出\(n​\)维空间中\(n+1​\)个点围成的棱锥的体积。

有一个结论:任选\(n​\)个点,把他们围成的棱锥的体积加起来,最后除以二,就是答案。

为什么?咕咕咕

矩阵树定理

生成树的个数就是度数矩阵减去邻接矩阵,再删掉一行一列,的行列式。

有向图的以\(i​\)为根的树形图,是度数矩阵减去邻接矩阵,再删去\(i​\)\(i​\)列,的行列式。外向树是入度,内向树是出度。

某知名定理

\(n​\)个点的完全图的生成树个数是\(n^{n-2}​\)

可以使用矩阵树定理或prufer序列证明。

BEST定理

\(n​\)个点有向图存在欧拉回路的充要条件是所有点入度等于出度。图的欧拉回路的条数是任意一个点的树形图个数乘所有点度数-1的阶乘。(显然任意一个点的树形图个数都相等)

\[ec(G)=t_w(G)\prod(deg_i-1)! \]

UOJ226

无向图的欧拉回路条数,如果图是一棵树带重边,那么可以很容易给边定向;如果是环套树带重边,那么可以枚举环上某两个点之间有几条往右几条往左,就可以推出所有边的情况。

带状矩阵

高斯消元可以做到\(nd^2​\),其中\(d​\)是带子的宽度。

如果需要改变主元,为了保证复杂度不能向下找,而要向右找,交换两列,相当于交换两个变量。

用途:比如网格图做生成树个数的时候,带宽可以做到\(\min(n,m)​\),不妨设\(m<n​\),那么复杂度就是\(O(nm^3)​\)。(与博客中直接消元法类似)

CF963E

见博客。

线性空间(向量空间)

定义在某一个数域内,比如\(\rm{F}_p,\R^3​\),使得\(v_1\in S,v_2\in S​\),则有\(v_1+v_2\in S,av_1\in S​\)。(即对加减法和数乘封闭)

对于向量集合\(S​\),记\(\mathrm{span}(S)=\{a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+\cdots\}​\)

线性无关组\(\{v_{1...k}\}​\):不存在不全为零的\(a_{1...k}​\),使得\(\sum a_iv_i=0​\)

一个向量空间的基:向量空间中某个极大的线性无关组。

向量空间的维数:基的大小。

矩阵(或一组向量)的秩:张成的线性空间的维数。

定理:行空间和列空间的维数相等。

\(p​\)意义下,若\(\dim V=d​\),那么共有\(p^d​\)个元素。(???)

\(Ax=b​\)什么时候会有一解、无解、多解?

如果是在模\(p​\)意义下,那么有多解的时候解的个数是\(p^{n-\mathrm{rank}(A)}​\)。(即\(n-\mathrm{rank} (A)​\)就是自由元的个数)

空间\(\{x|Ax=0\}​\)(即\(Ax=0​\)的解空间)是一个线性空间。

\(xor​\)可以定义在\(F_2​\)\(d​\)维空间。

拟阵

拟阵由一个二元组\((V,I)​\)组成。

\(I​\):拟阵的子集族(即一个由集合组成的集合),满足

  1. \(\empty\in I​\)
  2. \(A\subset B,B\in I​\),那么\(A\in I​\)
  3. \(|A|<|B|,A\in I,B\in I​\),那么存在\(v\in B-A​\),使得\(A+\{v\}\in I​\)

线性无关组是拟阵。(???)

拟阵可以用来证明贪心的正确性。

HDU多校1 B

线性基里面存二元组\((x,p)​\)表示当前值是\(x​\),用到的最早的位置是\(p​\)。插入的时候如果\(p>p'​\)那么交换。

询问的时候取出\(r​\)位置的线性基,只用\(p\ge l​\)的位置的值得到答案。

UOJ 91

类似上一题,把\(p​\)设成消失的时间,然后用一样的方法做。

SRM 620 Hard

对于每个因子列一个方程;

对于每一行、每一列再列一个方程。

如果有解那么方案数就是\(2^{n-\mathrm{rank}}​\)

伴随矩阵

\(A​\)的伴随矩阵(记作\(\mathrm{adj}(A)​\)),他的\(a'_{i,j}=c_{j,i}​\),即代数余子式的矩阵的转置。

由于代数余子式求起来很慢,我们需要一个更快的做法。可以发现,\(\mathrm{adj}(A)​\)有一些很有趣的性质:

\[A\cdot\mathrm{adj}(A)=\det (A)\cdot I\\ \mathrm{adj}(A)=\det (A)\cdot A^{-1} \]

因此,如果\(A​\)可逆,那么可以直接求出\(\mathrm{adj}(A)​\)

否则,

\(\mathrm{rank}(A)\le n-2​\),那么伴随矩阵恒为0。(???)

\(\mathrm{rank}(A)=n-1\),则\(A\cdot \mathrm{adj}(A)=0\),即\(\mathrm{adj}(A)\)的每一列都在\(Ax=0\)的解空间内。又因为\(Ax=0\)的解空间维数为1,所以\(\mathrm{adj}(A)\)的每一列都可以表示为\(t\cdot x_0\)。一种较为丑陋的方法就是先求出\(Ax=0\)的某一个解\(x_0\),然后把\(A\)的某一行换成随机数,那么这一行的余子式不会变,但矩阵变得可逆了,于是就可以求出\(\mathrm{adj}(A)\)的某一行(或列?),于是就可以求出一整个\(\mathrm{adj}(A)\)

由这个式子可以推出\(A\)在交换环\(R\)(???)意义下存在逆矩阵的充要条件是\(\mathrm{\det A}\)存在逆元:

\[1=\det (I)=\det(A\cdot A^{-1})=\det (A)\det (A^{-1})\\ \det (A^{-1})=\det (A)^{-1} \]

又因为

\[\mathrm{adj}(A)=\det (A)\cdot A^{-1} \]

所以

\[A^{-1}=\mathrm{adj}(A)\det (A)^{-1} \]

Schwartz–Zippel Lemma

一个多项式(可以有多个变量)在模p意义下,如果每个变量的值都是随机的,那么一整个多项式的值为0的概率不超过次数除以p。

判断一个二分图是否有完备匹配

给每一条边一个变量,……掉线

NTF笔记多好qwq

Tutte Matrix

Sherman–Morrison formula

对于列向量\(u,v​\),有

\[(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^{T}A^{-1}}{1+v^T A^{-1}u} \]

发现右边的东西可以\(O(n^2)​\)做出来。

扩展:可以在\(O(n^2k)​\)的时间内实现给一个矩阵加上一个\(\mathrm{rank}=k​\)的矩阵,并维护出它的逆。仍然有公式:

\(U​\)为一\(n\times k​\)矩阵,\(V​\)为一\(k\times n​\)矩阵,且\(I_k+VA^{-1}U​\)可逆,则

\[(A+UV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I_k+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} \]

对于某一个\(\mathrm{rank}=k\)的矩阵,选出它行空间的某一组基,那么其他的行肯定可以被表示出来,所以肯定可以被拆成\(U\cdot V\)的形式。

动态图传递闭包

\(A​\)为图的邻接矩阵(邻接矩阵内如果有边则随机设值,于是矩阵大概率可逆),那么传递闭包可以视为

\[I+A+A^2+A^3+\cdots=\frac{1}{I-A} \]

其中\(i,j​\)可达当且仅当\(A_{i,j}​\)不为零。

如果要加边删边,相当于对\(A​\)做很小的修改,于是可以用上面的方法维护出来。

甚至可以对某个点连出去或连进来的边全部进行修改,因为这样也只是修改了一行或一列而已。

(到底是否正确?)

ICPC2018 Nanjing F

如果固定终点,那么可以设\(f_x​\)表示从这里走到\(T​\)的期望步数,很容易列出方程:

\[f_x=[x\ne T](1+\sum_y p_{x\rightarrow y}f_y) \]

直接暴力高斯消元是\(O(n^4)​\),过不去。

由于每一次改变\(T​\)的时候都只会改变一行,于是可以采用上面的方法维护逆矩阵……吗?

需要注意一些初始的东西,似乎是要保证一开始的矩阵要有逆,然而并没有完全听懂。

\(f_{i,j}​\)表示从\(i​\)走到\(j​\)的期望步数,那么

\[f_{i,j}=[i\ne j](1+\sum_x p_{i,x}f_{x,j}) \]

\(g_i​\)表示从\(i​\)走回\(i​\)的期望步数,那么

\[g_i=1+\sum_x p_{i,x}f_{x,i} \]

于是

\[f_{i,i}=1+\sum_x p_{i,x}f_{x,i}-g_i \]

\[F=J+PF-G \]

(其中\(F​\)全是1,\(G​\)为对角矩阵)

\[(I-P)F=J-G \]

可以证明\(\mathrm{rank}(I-P)=n-1​\)

左右同时进行高斯消元,令\(F_{n,i}=0​\),可以消出一个\(F​\)的特解\(Y​\)

由于\((I-P)x=0​\)的解空间的维数为1,所以可以给\(Y​\)的每一列加上几个\(x​\),然后……由于\(F_{i,i}=0​\),可以知道每一列到底要加几个,然后就做完了……

(???)

\(q_{k,i}​\)表示走\(k​\)步之后走到\(i​\)的概率,则\(\lim\limits_{k\rightarrow \infty}q_{k,i}=\pi_i​\)

所以

\[\pi P=\pi \]

而且

\[\sum \pi_i=1 \]

可以解方程解出\(\pi​\)

于是在一个无限长的出现序列里面,每\(g_i​\)步便出现一次\(i​\),所以\(g_i=\frac 1{\pi_i}​\)

于是\(g​\)也求出来了,于是\(F​\)也就可以通过求逆求出来。

(不是很严谨)

特征值和特征向量

如果\(\lambda​\)\(A​\)的特征值,那么满足

\[\det(\lambda I-A)=0 \]

显然,\(\det (\lambda I-A)​\)为一个关于\(A​\)的一个次数为\(n​\)的多项式,而且首项系数为1。记这个多项式为\(A​\)的特征多项式。

每个特征值对应一个特征向量\(x_i​\),满足

\[A\cdot \left[ x_1,x_2,\cdots ,x_n \right]=[\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,\cdots,\lambda_nx_n ]\\ =[x_i]\cdot D \]

其中\(D​\)\(\lambda_i​\)组成给的对角矩阵。记\(P=[x_i]​\)

所以\(AP=PD,A=PDP^{-1}\),所以\(A^n=PD^nP^{-1}\)

CF923E

矩阵对角化一下,显然\(\lambda_i=\frac 1 i\),然后发现上面的\(P\)\(P^{-1}\)都有很好的性质,一通乱乘恰好是一个卷积的形式,于是就没了。

(具体证明懒得写了,看题解吧)

哈密尔顿-凯莱定理

对于\(A​\)的特征多项式\(f(\lambda)=\sum c_k\lambda^k​\),有\(f(A)=0​\)

所以有

\[\sum c_kA^k=0 \]

优化线性递推

见博客。

BM算法求矩阵的最小多项式

考虑数列\(\{A^k\}​\)的线性递推式\(A^n=\sum_{i=1}^t c_iA^{n-i}​\),它其实就对应着一个零化多项式,所以我们就是要求这个数列的最短递推式。

考虑随机两个向量\(u,v​\),改成求\(\{u^TA^kv\}​\)的线性递推式。

\(A​\)中非0位置的个数是\(e​\),那么\(A​\)与一个向量相乘的复杂度是\(O(e)​\)的,于是可以\(O(ne)​\)搞到这个数列,然后再\(O(n^2)​\)求出线性递推式。

总复杂度\(O(n(n+e))​\)

BM算法解稀疏线性方程组

对于一个方程组\(Ax=b​\)\(A​\)满秩),有\(x=A^{-1}b​\)

考虑求出\(\{A^kb\}​\)的最短递推式,那么得到\(Ib=\sum_{i=1}^m c_iA^ib​\)。左右同乘\(A^{-1}​\),得到\(A^{-1}b=\sum_{i=1}^m c_iA^{i-1}b​\)

\(A^kb=A(A^{k-1}b)​\),所以可以直接递推得到。

总复杂度\(O(n(n+e))​\)

BM算法求稀疏矩阵行列式

由定义可知\(\det(A)=(-1)^n f(0)​\),其中\(f​\)\(A​\)的特征多项式。

每行随机乘\(a_i​\),有很高概率它的最小多项式就是特征多项式(必须要满秩?没听清)。

于是稀疏矩阵的行列式就可以在\(O(n(n+e))​\)的时间内求出来。

Cramer法则

对于\(Ax=b\),如果\(\det(A)=0\)那么有唯一解:

\[x_i=\frac{D_i}{D} \]

其中\(D=\det(A)\)\(D_i\)表示把第\(i\)列换成\(b\)的行列式。

这个东西似乎没什么用,然而在\(A\)是范德蒙德矩阵的时候可能会有奇效。

(需要用到多项式多点插值的式子和多项式多点求值)

posted @ 2019-08-05 20:02  p_b_p_b  阅读(147)  评论(0编辑  收藏