网络流专题

仔细思考了一下，发现自己还有许多弱项，网络流也是其中之一，而且只会写板子，需要补一补。

还有10天就GDOI了，要抓紧啊……

注意：以下某些题没有写代码，只是口胡后看了题解发现差不多，不保证完全正确。

本专题的题单来自 https://www.cnblogs.com/xht37/p/10457051.html ，Orz神仙

二分图

洛谷P1402 酒店之王

把每个人拆成两个点放在中间，左边房子右边菜，跑最大流即可。

洛谷U64949 棋盘覆盖

黑白染色之后发现只能黑和白匹配，于是就是个二分图了，搞出最大匹配即可。

套路：黑白染色之后有可能会成为二分图。

洛谷U64970 車的放置

把行和列作为点，格子作为边，如果可以放就把对应的行列连起来，然后跑最大匹配。

这样的匹配显然满足所有车都不同行不同列。

套路：行列作为点，格子作为边。

洛谷P1129 [ZJOI2007]矩阵游戏

注意到一个性质：无论怎么换，同行的黑点仍然同行，同列的黑点仍然同列。

所以每行/列最多有一个黑点在对角线上。

那么和上一题一样的建图方法就可以做了。

洛谷P1963 [NOI2009]变换序列

显然在\(D(i,T_i)\)确定的情况下能与\(i\)匹配的\(T_i\)是常数级别的。

那么连一下二分图就可以得到一组解了。

用匈牙利算法，从后往前做，就可以字典序最小了。

UVA1194 Machine Schedule

考虑最终答案就是AB不同状态个数的和，也就是要用最少的状态，使得每个任务都被覆盖。

把A状态放左边，B状态放右边，每个任务视为一条边，那就是求这个二分图的最小点覆盖。

定理：二分图最小点覆盖包含的点数 == 二分图最大匹配包含的边数。

于是跑一个最大匹配就做完了。

套路：对于二者至少选其一的限制，将其视为边，做最小点覆盖。

POJ2226 Muddy Fields

一个显然的贪心：对于每一个木板，肯定会一直变长直到顶到边界或干净格子。

所以每个泥泞格子至少会被横着或竖着的两种木板之一覆盖。

用上一题的定理和套路就做完了。

洛谷P3355 骑士共存问题

按套路黑白染色一下，发现限制只会在黑白点之间，于是就变成了求二分图的最大独立集。

定理：设\(G\)是有\(n\)个节点的二分图，\(G\)的最大独立集大小 == \(n-\)最小点覆盖数 == \(n-\)最大匹配数。

那么就做完了。

洛谷P2423 [HEOI2012]朋友圈

首先发现朋友圈就是一个团。

然后发现A国是一个二分图，B国是两个团之间连了一些边。

定理：无向图 \(G\) 的最大团 == 补图 \(G'\) 的最大独立集。

发现A国最多选两个人，B国取个补图就变成了二分图。

那么可以枚举A国的人，把B国和他们是朋友的人提出来搞个补图，然后求补图（一个二分图）的最大独立集即可。

UVA1327 King's Quest

显而易见的思路是枚举每组喜欢关系，然后匈牙利算法判一下是否合法，不过貌似会T。

考虑优化判合法的过程。对于给定的方案\(x_i\rightarrow y_i\)，连一条\(y_i\rightarrow x_i\)的边，然后再把喜欢关系的边\(x_i\rightarrow y_i\)连上。

那么\(x_i\rightarrow y_j\)合法当且仅当\(x_i,y_j\)在同一强连通分量里，考虑匈牙利算法的实现过程，这显然正确。

那么就做完了，复杂度\(O(n+m)\)。

洛谷P2764 最小路径覆盖问题

定理：有向无环图的最小路径点覆盖包含的路径条数 == \(n-\)其拆点二分图的最大匹配数

于是做完了。

有向无环图的最小可重复路径点覆盖

首先求出每个点能到达哪些点（说得高端一点就是进行传递闭包）。

然后往能到的点都连上边，就变成最小路径点覆盖了。

洛谷P2765 魔术球问题

考虑拆点，若\(x\)之后可以接\(y\)则连边\(x\rightarrow y'\)。

总数减去最大匹配数就是需要的柱子数。

那么可以一直加球，直到需要的柱子数超过\(n\)时停止。

（感受一下，这其实就是DAG的最小路径覆盖）

最大流

洛谷P2472 [SCOI2007]蜥蜴

把每一个石柱拆成入点出点，之间连上该石柱的高度的权值的边。

源点连蜥蜴位置，能跳出去的位置连汇点，位置之间互相连。

跑最大流即可。

套路：点有权值时拆点连边，转化为边的权值。

洛谷P2766 最长不下降子序列问题

第一问乱搞即可。

第二问

设以\(i\)为结尾的序列最长长度为\(f_i\)。

连边：\(i-i',[if\ f_i=1]S-i,[if\ f_i=mx]i'-T,[if\ a_i\le a_j\&\&i<j\&\&f_i+1=f_j]i'-j\)，权值均为1.

跑最大流即可。

第三问

把有关1、n的流量限制全都设为\(\infty\)，再跑一遍最大流即可。

注意特判n=1！

洛谷P2754 [CTSC1999]家园

从小到大枚举需要的时间。飞船可以视为每到一个地方就所有人都下去，然后再考虑是否上来。

按时间拆点：设\((x,i)\)表示\(i\)时刻在\(x\)点。

每个时间可以算出某个飞船是从\(x\)到\(y\)，那么连一条\((x,i)\rightarrow (y,i+1)\)，权值为飞船容量的边。

也连一条\((x,i)\rightarrow (x,i+1)\)，权值\(\infty\)的边，表示呆在原地不动。

然后以地球为\(S\)，月球为\(T\)跑最大流，看是否能转移所有人。

最小割

定理：最大流=最小割。

UVA1660 Cable TV Network

首先枚举不连通的两点。

拆点，把每一个点拆成入点和出点，之间连权值为1的边。割开这条边就等价于删点。

然后跑最小割即可。

洛谷P2774 方格取数问题

黑白染色，发现只有黑白点之间会互相影响。

相邻的黑白点连权值\(\infty\)的边表示不能割开，\(S\)往黑点连权值为格子权值的边，白点往\(T\)连权值为格子权值的边。

用总权值减去最小割就是答案了。

图的意义：割开的边表示不选这个格子。

最后分成了两部分，选了与\(S\)相连的黑点、与\(T\)相连的白点。

套路：最小割常用于表示分开两种不同状态。

洛谷P2057 [SHOI2007]善意的投票

源点连想睡觉的人，不想睡觉的人连汇点，朋友之间连边，权值均为1。然后跑最小割即可。

图的意义：跑完最小割后分成了想/不想睡觉两个集合，割开的边表示与自己意愿或以朋友的票冲突

洛谷P2598 [ZJOI2009]狼和羊的故事

源点连羊，汇点连狼，相邻点之间连边，权值均为1。然后跑最小割即可。

图的意义：要把羊和狼隔开，割边表示在对应交界处建篱笆

洛谷P4126 [AHOI2009]最小割

模板题，求最小割的可行边和必须边。

首先求最大流，那么可行边和必须边都是满流的。

可行边：残量网络中不存在\(x\rightarrow y\)的路径。（tarjan即可）

必须边：残量网络中存在\(S\rightarrow x,y\rightarrow T\)的路径。

洛谷P2046 [NOI2010]海拔

发现题目很奇怪地让我们答案保留整数，于是大胆猜结论：海拔只有0和1。当然证明也不难。

很显然，最优解是左上0右下1，中间以一条分割线隔开。

那么这就是个最小割模板，但会TLE。

定理：平面图最小割=对偶图最短路。

那么建出对偶图之后就做完了，注意方向。

（我的建法：左下\(S\)，右上\(T\)，一条边左边0，右边1，好像和题解差不多。）

LOJ #2146. 「SHOI2017」寿司餐厅

首先不能读错题。代号为\(x\)的寿司的代价只和种类数有关，和吃的个数无关。

考虑限制是什么：选了\(d_{i,j}\)就必须要选\(d_{i+1,j},d_{i,j-1}\)，并且选了\(d_{i,i}\)就要付出\(c_i\)的代价，还要选第\(i\)种寿司付出\(m\times i^2\)的代价。

你发现这个可以最大权闭合子图，没了。

费用流

洛谷P2045 方格取数加强版

每个点拆成入点出点，中间连\(k\)条边，一条费用为原权值，剩下的为0。每个点向右下连边。

直接最大费用最大流即可。

洛谷P2053 [SCOI2007]修车

因为不知道后面会有多少人等，所以不能直接连边。

逆向考虑：每个人倒数第几个被修？

知道自己倒数第几个被修就好做了。把工人\(i\)拆成\((i,j)\)，表示倒数第\(j\)个被修，然后随便连一连、匹配一下，就做完了。

洛谷P2050 [NOI2012]美食节

基本同上，但头铁跑费用流会TLE。

优化：每跑一次就加一层点，复杂度较为玄学，但能过。

洛谷P2604 [ZJOI2010]网络扩容

第一问直接最大流即可。

对于第二问，利用第一问的残量网络。原来剩下的费用为0，新加的流量\(\infty\)，费用\(w\)。

最后限制一下最大流为\(k\)，跑最小费用最大流即可。

洛谷P2153 [SDOI2009]晨跑

由于每个点只能经过一次，那么把点拆成入点出点，之间连流量1费用0的边。

点之间连流量1费用\(w\)的边。

跑最小费用最大流即可。

洛谷P2469 [SDOI2010]星际竞速

一开始想到了有上下界费用流，似乎也能过（有题解）。

但正解还是普通费用流。

考虑每跳跃一次就视为重新开始了一次，那么这相当于DAG的带权最小路径覆盖。

一开始令答案为点权和，表示全都靠跳跃。然后拆点\(S\rightarrow x,x'\rightarrow T\)，对于原图\(x\rightarrow y\)连边\(x\rightarrow y'\)，费用为\(w_e-w_y\)，表示消去了跳跃的时间、加上了边的时间。跑最小费用流即可。注意费用为正时直接停止。

洛谷P2770 航空路线问题

首先要看对题：起点终点都是确定的。

然后这题就转化为：求总长最长的\(1\rightarrow n\)的不相交的两条路径。

按套路拆点，费用1流量1，表示只能经过一次。有航线就连边，费用0流量1。外面\(S\rightarrow 1\)限制流量2，防止多流。

然后跑最大费用最大流就是最长路径了。

输出方案应该不难，最多有点坑而已。

洛谷P3358 最长k可重区间集问题

竟然没做出来？

感性理解一下，似乎每一种方案都可以拆成\(k\)种方案，其中每个方案的线段都不相交。

于是就变成方格取数了。

把端点离散化一下，相邻的连边，左端点连右端点，限制最多跑\(k\)次。然后跑最大费用流即可。

（这题我感觉应该是这么理解的，但不太会证明，仅供参考）

洛谷P3357 最长k可重线段集问题

很好我又没做出来……

建图方法几乎和上面一样，但注意\(x_1=x_2\)时你会连出自环来。

把点拆成入点出点就好了，\(x_1=x_2\)时入点连出点。

洛谷P4016 负载平衡问题

源点连货物有多的点，货物少的点连汇点，相邻仓库互相连，跑最小费用最大流即可。

有上下界网络流

无源汇有上下界可行流

每条边预先流掉下界，但会导致流量不平衡。

设流进来的-流出去的为\(d_x\)。

设立超级源、汇，若\(d_x>0\)则连\((S,x,d_x)\)，否则连\((x,T,-d_x)\)，跑最大流。

能跑满则每条边的流量+下界就是可行流。

有源汇有上下界最大流

连\((T,S,\infty)\)变为无源汇，然后跑一次无源汇有上下界可行流。

然后从\(S\)往\(T\)跑就得到了最大流。注意一开始加的边不要删！

无源汇有上下界最小流