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【转载】最小生成树之Kruskal算法

          给定一个无向图,如果它任意两个顶点都联通并且是一棵树,那么我们就称之为生成树(Spanning Tree)。如果是带权值的无向图,那么权值之和最小的生成树,我们就称之为最小生成树(MST, Minimum Spanning Tree)。

        我们由最小生成树的定义,可以延伸出一个修建道路的问题:把无向图的每个顶点看作村庄,计划修建道路使得可以在所有村庄之间通行。把每个村庄之间修建道路的费用看作权值,那么我们就可以得到一个求解修建道路的最小费用的问题。

        常见求解最小生成树的算法有Kruskal算法和Prim算法。由于篇幅问题再此对于Prim算法,就不多做解释了。现在我们看看Kruskal算法,是怎么来求解最小生成树的问题。

1、Kruskal算法描述

      Kruskal算法是基于贪心的思想得到的。首先我们把所有的边按照权值先从小到大排列,接着按照顺序选取每条边,如果这条边的两个端点不属于同一集合,那么就将它们合并,直到所有的点都属于同一个集合为止。至于怎么合并到一个集合,那么这里我们就可以用到一个工具——-并查集(不知道的同学请移步:Here)。换而言之,Kruskal算法就是基于并查集的贪心算法。

2、Kruskal算法流程

      对于图G(V,E),以下是算法描述:

输入: 图G
输出: 图G的最小生成树
具体流程:
(1)将图G看做一个森林,每个顶点为一棵独立的树
(2)将所有的边加入集合S,即一开始S = E
(3)从S中拿出一条最短的边(u,v),如果(u,v)不在同一棵树内,则连接u,v合并这两棵树,同时将(u,v)加入生成树的边集E'
(4)重复(3)直到所有点属于同一棵树,边集E'就是一棵最小生成树

 

 

 

      我们用现在来模拟一下Kruskal算法,下面给出一个无向图B,我们使用Kruskal来找无向图B的最小生成树。

 

        首先,我们将所有的边都进行从小到大的排序。排序之后根据贪心准则,我们选取最小边(A,D)。我们发现顶点A,D不在一棵树上,所以合并顶点A,D所在的树,并将边(A,D)加入边集E‘。

         我们接着在剩下的边中查找权值最小的边,于是我们找到的(C,E)。我们可以发现,顶点C,E仍然不在一棵树上,所以我们合并顶点C,E所在的树,并将边(C,E)加入边集E'

       不断重复上述的过程,于是我们就找到了无向图B的最小生成树,如下图所示:

3、Kruskal算法的时间复杂度

      Kruskal算法每次要从都要从剩余的边中选取一个最小的边。通常我们要先对边按权值从小到大排序,这一步的时间复杂度为为O(|Elog|E|)。Kruskal算法的实现通常使用并查集,来快速判断两个顶点是否属于同一个集合。最坏的情况可能要枚举完所有的边,此时要循环|E|次,所以这一步的时间复杂度为O(|E|α(V)),其中α为Ackermann函数,其增长非常慢,我们可以视为常数。所以Kruskal算法的时间复杂度为O(|Elog|E|)。

4、实战演练

      我们现在已经基本了解了Kruskal算法,让我们来一道题目练练手:畅通工程。这是一道非常基本的最小生成树的应用,所以我就不做详细说明了,这里仅附上代码以供参考:

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstdlib>
 3 #define MAXN 10000 + 10
 4 using namespace std;
 5 
 6 int par[MAXN], Rank[MAXN];
 7 typedef struct{
 8     int a, b, price;
 9 }Node;
10 Node a[MAXN];
11 
12 int cmp(const void*a, const void *b){
13     return ((Node*)a)->price - ((Node*)b)->price;
14 }
15 void Init(int n){
16     for(int i = 0; i < n; i++){
17         Rank[i] = 0;
18         par[i] = i;
19     }
20 }
21 
22 int find(int x){
23     int root = x;
24     while(root != par[root]) root = par[root];
25     while(x != root){
26         int t = par[x];
27         par[x] = root;
28         x = t;
29     }
30     return root;
31 }
32 
33 void unite(int x, int y){
34     x = find(x);
35     y = find(y);
36     if(Rank[x] < Rank[y]){
37         par[x] = y;
38     }
39     else{
40         par[y] = x;
41         if(Rank[x] == Rank[y]) Rank[x]++;
42     }
43 }
44 //n为边的数量,m为村庄的数量
45 int Kruskal(int n, int m){
46     int nEdge = 0, res = 0;
47     //将边按照权值从小到大排序
48     qsort(a, n, sizeof(a[0]), cmp);
49     for(int i = 0; i < n && nEdge != m - 1; i++){
50         //判断当前这条边的两个端点是否属于同一棵树
51         if(find(a[i].a) != find(a[i].b)){
52             unite(a[i].a, a[i].b);
53             res += a[i].price;
54             nEdge++;
55         }
56     }
57     //如果加入边的数量小于m - 1,则表明该无向图不连通,等价于不存在最小生成树
58     if(nEdge < m-1) res = -1;
59     return res;
60 }
61 int main(){
62     int n, m, ans;
63     while(scanf("%d%d", &n, &m), n){
64         Init(m);
65         for(int i = 0; i < n; i++){
66             scanf("%d%d%d", &a[i].a, &a[i].b, &a[i].price);
67             //将村庄编号变为0~m-1(这个仅仅只是个人习惯,并非必要的)
68             a[i].a--;
69             a[i].b--;
70         }
71         ans = Kruskal(n, m);
72         if(ans == -1) printf("?\n");
73         else printf("%d\n", ans);
74     }
75     return 0;
76 }

 

       当然要是觉得不够爽,那就再送大家一个大礼包:图论500题(这里包含了绝大多数的图论题目,对于每道题都有难度的注明)。

转载自Enstein_Jun的博客

posted @ 2017-10-17 16:31  AFOer  阅读(183)  评论(0编辑  收藏  举报
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