Codeforces 494C - Helping People

题意

有一个长度为 \(n\) 的数列 \(a\),有 \(m\) 个 操作,每个操作是给 \(a[l_i,r_i]\) 中的数都加一,一个操作有 \(p_i\) 的概率执行(否则不执行)。一个性质是任意两个区间不相交或完全包含(可重叠)。问执行完所有操作后 \(a\) 中最大值的期望。

\(n\le 10^5,m\le 5000,a\le 10^9\)

分析

想象一下多个不相交或完全包含的区间,他们的结构其实是一棵树。外层为父亲,内层为儿子。

要计算的是最大值的期望,而这个最大值是由多个操作得到的,所以无法分别计算期望再合并。解决这个问题的方法是先算出概率,再得到期望。

到最后,一个区间 \([l,r]\) 的最大值只可能是 \([mx,mx+q]\) 中的数(\(mx\) 为原序列中这个区间的最大值)。那么那么我们可以用这个东西来 dp。

\(f[x][j]\) 表示 \(x\) 点子树中的操作结束后,\(x\) 点表示的这个区间的最大值小于等于 \(mx_x+j\) 的概率。这样设计是因为若是等于的话,计算的时候转移还是要求前缀和,相当于是小于等于了。若 \(x\) 这个操作不执行,那么从子树 \(v\) 转移,子树 \(v\) 需要让其最后的区间最大值小于等于 \(mx_x+j\) ;若执行,那么子树的需要让其区间最大值小于等于 \(mx_i+j-1\) 。因此有转移
\[ f[x][j]=p_x\prod f[v][mx_x+j-1-mx_v]+(1-p_x)\prod f[v][mx_x+j-mx_v] \]

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxq=5e3+5;
const int maxm=1e4+5;
const int maxn=1e5+1;
int n,a[maxn],m,M,mx;
inline void Max(int &x,int y) {x=max(x,y);}
struct Q {
    int l,r,mx;
    double p;
    inline bool operator < (const Q &b) const {return l!=b.l?l<b.l:r>b.r;}
} q[maxq];
namespace rmq {
    const int maxj=17;
    int f[maxn][maxj],bin[maxn];
    void build() {
        for (int i=2;i<=n;++i) bin[i]=bin[i>>1]+1;
        for (int i=1;i<=n;++i) f[i][0]=a[i];
        for (int j=1;j<maxj;++j) for (int i=1;i<=n;++i) {
            int x=i+(1<<(j-1));
            f[i][j]=f[i][j-1];
            if (x<=n && f[x][j-1]>f[i][j]) f[i][j]=f[x][j-1];
        }
    }
    inline int query(int l,int r) {
        int x=bin[r-l+1];
        return max(f[l][x],f[r-(1<<x)+1][x]);
    }
}
namespace tree {
    vector<int> g[maxq];
    double f[maxq][maxm];
    inline void add(int x,int y) {g[x].push_back(y);}
    void build() {
        sort(q+1,q+m+1);
        static int sta[maxq],top;
        q[sta[top=0]=0]=(Q){1,n,min(mx,m),0};
        for (int i=1;i<=m;++i) {
            Q &p=q[i];
            for (;top>0 && p.l>q[sta[top]].r;--top) add(sta[top-1],sta[top]);
            sta[++top]=i;
        }
        for (;top;--top) add(sta[top-1],sta[top]);
    }
    void dfs(int x) {
        if (g[x].empty()) {
            f[x][0]=1-q[x].p;
            for (int i=1;i<=M;++i) f[x][i]=1;
            return;
        }
        for (const int &v:g[x]) dfs(v);
        for (int j=0;j<=m;++j) {
            double fir=j?q[x].p:0,sec=1-q[x].p;
            for (const int &v:g[x]) {
                int the=q[x].mx-q[v].mx+j;
                fir*=f[v][the-1];
                sec*=f[v][the];
            }
            f[x][j]=fir+sec;
        }
        for (int j=m+1;j<=M;++j) f[x][j]=f[x][j-1];
    }
    double calc() {
        double ret=mx;
        for (int i=1;i<=m;++i) ret+=(f[0][i]-f[0][i-1])*i;
        return ret;
    }
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d%d",&n,&m),M=m<<1;
    for (int i=1;i<=n;++i) {
        scanf("%d",a+i);
        Max(mx,a[i]);
    }
    if (mx>m) for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=max(0,a[i]+m-mx);
    rmq::build();
    for (int i=1;i<=m;++i) {
        scanf("%d%d%lf",&q[i].l,&q[i].r,&q[i].p);
        q[i].mx=rmq::query(q[i].l,q[i].r);
    }
    tree::build();
    tree::dfs(0);
    double ans=tree::calc();
    printf("%.10lf\n",ans);
    return 0;
}
posted @ 2017-10-23 14:24 permui 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏